(2.9)James Stewart Calculus 5th Edition:The Derivative as a Function


The Derivative as a Function 把导数作为一个函数

这里a是一个固定值, 如果把a看成一个变量,就是一个函数了 对应的过程,可以理解成这个函数的导数 (也就是这个方程的导数)


Other Notations 其他写法

下面都是对应导数的写法 differentiation operators 微分操作 differentiable 可微 (也不理解,为什么把differentiation 翻译成 微分... 细微差别???...)

具体定义

就是 具体求导的运算过程

operation of differentiation, which is the process of calculating a derivative

其实,所有的写法,都是表示对应的 Δy/Δx, 当Δx -> 0的时候 (以后,其实看见Δ,都可以理解成很小, 趋于0)

如果我们求某个点的导数,可以这样写

定理3

如果在一个区域可以有微分操作, 我们叫做 differentiable 可微

例子: f(x) = |x| 是否可微?

我们分别求左右的导数, 看左右的微分

考虑下 x=0 的情况

最后对比,左右的可微:

最后的结论是: 在0这个点, 左边可微, 右边可微, 但是整体不可微

所以,我们可以写成分段函数 表示分段是成立的

定理4

a点可微,在a点一定连续 (我们通过前几节讲的lim,再通过上面的例子,可以理解)


How Can a Function Fail to Be Differentiable?什么时候不可微

上面的 Example 6 的 y = | x |, 说明在 x = 0 是不可微的

图像上看,上面会有一个 尖角, 也可以理解,左右的极限是不同的 (感觉 differentalbe微分, 想表达的意思是在 different 上)

不连续的时候,不可微

还有就是,有垂直切线(其实,也是左右极限值不一样)

  • 左右极限不同, 不可微
  • 不连续,不可微
  • 有竖直切线,左右极限值不一样,不可微

不可微的情况,对应的图为:

具体细节,对比:

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