(2.1)James Stewart Calculus 5th Edition:The Tangent and Velocity Problems


The Tangent and Velocity Problems 切线和速度问题

这里提到 Tangent 起源于 拉丁文, 意思是 touching 也就是曲线对应点位置当前的方向

例子: 找 抛物线 y = x^2 在 P(1,1)的tangent等式

这个时候,我们取一个 Q(x,x^2),并且 Q≠P,则有等式为:

我们取具体值,看看: 例如 Q(1.5 , 2.25)

当点Q离P点越来越近的时候:

最后,这个值, 可以得到 mPQ = 2 (这里,肯定是 先约分, 再计算)


The Velocity Problem 速度问题

当我们说 车的速度的时候, 我们发现, 车的速度其实不是恒定的。所以,我们说的速度,其实是指的 对应的 “instantaneous” velocity 瞬时速度

这里是 小球掉落的例子: (Galileo 伽利略 ,对应的定义得到:)

我们通过 5s 到 5.1s 去求这 0.1s的瞬时速度

我们可以发现, 对应的时间间隔越短, 值就越准确

当时间很短的时候, 也就是在 t=5s 的时候,对应的速度为:

可以通过公式求对应的斜率:

对应的一个时间段的平均速度, 和一个点的瞬时速度的区别:

其实,也就是 PQ这2个点 无限接近时候的值 (也就是上面 h 趋近于0 的时候)

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