前往小程序,Get更优阅读体验!
立即前往
首页
学习
活动
专区
工具
TVP
发布
社区首页 >专栏 >数据结构 第17讲 沟通无限校园网——最小生成树(kruskal算法)

数据结构 第17讲 沟通无限校园网——最小生成树(kruskal算法)

作者头像
rainchxy
发布2018-09-13 16:08:00
1.3K0
发布2018-09-13 16:08:00
举报
文章被收录于专栏:趣学算法

本内容来源于本人著作《趣学算法》,在线章节:http://www.epubit.com.cn/book/details/4825

构造最小生成树还有一种算法,Kruskal算法:设G=(V,E)是无向连通带权图,V={1,2,…,n};设最小生成树T=(V,TE),该树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{}),Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。它首先将所有的边按权值从小到大排序,然后只要T中选中的边数不到n−1,就做如下的贪心选择:在边集E中选取权值最小的边(i,j),如果将边(i,j)加入集合TE中不产生回路(圈),则将边(i,j)加入边集TE中,即用边(i,j)将这两个连通分支合并连接成一个连通分支;否则继续选择下一条最短边。把边(i,j)从集合E中删去。继续上面的贪心选择,直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。此时,选取到的n−1条边恰好构成G的一棵最小生成树T。

那么,怎样判断加入某条边后图T会不会出现回路呢?

该算法对于手工计算十分方便,因为用肉眼可以很容易看到挑选哪些边能够避免构成回路(避圈法),但使用计算机程序来实现时,还需要一种机制来进行判断。Kruskal算法用了一个非常聪明的方法,就是运用集合避圈:如果所选择加入的边的起点和终点都在T的集合中,那么就可以断定一定会形成回路(圈)。其实就是我们前面提到的“避圈法”:边的两个结点不能属于同一集合。

步骤1:初始化。将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序,边集TE={ },把每个顶点都初始化为一个孤立的分支,即一个顶点对应一个集合。

步骤2:在E中寻找权值最小的边(i,j)。

步骤3:如果顶点i和j位于两个不同连通分支,则将边(i,j)加入边集TE,并执行合并操作,将两个连通分支进行合并。

步骤4:将边(i,j)从集合E中删去,即E=E−{(i,j)}。

步骤 5:如果选取边数小于n−1,转步骤2;否则,算法结束,生成最小生成树T。

2.完美图解

设G =(V,E)是无向连通带权图,

(1)初始化

将图G的边集E中的所有边按权值从小到大排序,

边集初始化为空集,TE={ },把每个结点都初始化为一个孤立的分支,即一个顶点对应一个集合,集合号为该结点的序号,如图2-100所示。

图2-100 每个结点初始化集合号

(2)找最小

在E中寻找权值最小的边e1(2,7),边值为1。

(3)合并

结点2和结点7的集合号不同,即属于两个不同连通分支,则将边(2,7)加入边集TE,执行合并操作(将两个连通分支所有结点合并为一个集合);假设把小的集合号赋值给大的集合号,那么7号结点的集合号也改为2,

(4)找最小

在E中寻找权值最小的边e2(4,5),边值为3。

(5)合并

结点4和结点5集合号不同,即属于两个不同连通分支,则将边(4,5)加入边集TE,执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合;假设我们把小的集合号赋值给大的集合号,那么5号结点的集合号也改为4,

(6)找最小

在E中寻找权值最小的边e3(3,7),边值为4。

(7)合并

结点3和结点7集合号不同,即属于两个不同连通分支,则将边(3,7)加入边集TE,执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合;假设我们把小的集合号赋值给大的集合号,那么3号结点的集合号也改为2,

(8)找最小

在E中寻找权值最小的边e4(4,7),边值为9。

(9)合并

结点4和结点7集合号不同,即属于两个不同连通分支,则将边(4,7)加入边集TE,执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合;假设我们把小的集合号赋值给大的集合号,那么4、5号结点的集合号都改为2,

(10)找最小

在E中寻找权值最小的边e5(3,4),边值为15。

(11)合并

结点3和结点4集合号相同,属于同一连通分支,不能选择,否则会形成回路。

(12)找最小

在E中寻找权值最小的边e6(5,7),边值为16。

(13)合并

结点5和结点7集合号相同,属于同一连通分支,不能选择,否则会形成回路。

(14)找最小

在E中寻找权值最小的边e7(5,6),边值为17。

(15)合并

结点5和结点6集合号不同,即属于两个不同连通分支,则将边(5,6)加入边集TE,执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合;假设我们把小的集合号赋值给大的集合号,那么6号结点的集合号都改为2,

(16)找最小

在E中寻找权值最小的边e8(2,3),边值为20。

(17)合并

结点2和结点3集合号相同,属于同一连通分支,不能选择,否则会形成回路。

(18)找最小

在E中寻找权值最小的边e9(1,2),边值为23。

(19)合并

结点1和结点2集合号不同,即属于两个不同连通分支,则将边(1,2)加入边集TE,执行合并操作将两个连通分支所有结点合并为一个集合;假设我们把小的集合号赋值给大的集合号,那么2、3、4、5、6、7号结点的集合号都改为1,

(20)选中的各边和所有的顶点就是最小生成树,各边权值之和就是最小生成树的代价。

3.伪码详解

(1)数据结构

代码语言:javascript
复制
int nodeset[N];//集合号数组
struct Edge {//边的存储结构
     int u;
     int v;
     int w;
}e[N*N];

(2)初始化

代码语言:javascript
复制
void Init(int n)
{
     for(int i = 1; i <= n; i++)
          nodeset[i] = i;//每个结点赋值一个集合号
}

(3)对边进行排序

代码语言:javascript
复制
bool comp(Edge x, Edge y) 
{
     return x.w < y.w;//定义优先级,按边值进行升序排序
}
sort(e, e+m, comp);//调用系统排序函数

(4)合并集合

代码语言:javascript
复制
int Merge(int a, int b)
{
     int p = nodeset[a];//p为a结点的集合号
     int q = nodeset[b]; //q为b结点的集合号
     if(p==q) return 0; //集合号相同,什么也不做,返回
     for(int i=1;i<=n;i++)//检查所有结点,把集合号是q的全部改为p
     {
       if(nodeset[i]==q)
          nodeset[i] = p;//a的集合号赋值给b集合号
     }
     return 1;
}
4.实战演练
代码语言:javascript
复制
//program 2-8
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;
int nodeset[N];
int n, m;
struct Edge {
     int u;
     int v;
     int w;
}e[N*N];
bool comp(Edge x, Edge y) 
{
     return x.w < y.w;
}
void Init(int n)
{
     for(int i = 1; i <= n; i++)
          nodeset[i] = i;
}
int Merge(int a, int b)
{
     int p = nodeset[a];
     int q = nodeset[b];
     if(p==q) return 0;
     for(int i=1;i<=n;i++)//检查所有结点,把集合号是q的改为p
     {
       if(nodeset[i]==q)
          nodeset[i] = p;//a的集合号赋值给b集合号
     }
     return 1;
}
int Kruskal(int n)
{
     int ans = 0;
     for(int i=0;i<m;i++)
          if(Merge(e[i].u, e[i].v))
          {
              ans += e[i].w;
              n--;
              if(n==1)
                  return ans;
          }
     return 0;
}
int main()
{
  cout <<"输入结点数n和边数m:"<<endl;
  cin >> n >> m;
  Init(n);
  cout <<"输入结点数u,v和边值w:"<<endl;
  for(int i=0;i<m;i++)
      cin >> e[i].u>> e[i].v >>e[i].w;
  sort(e, e+m, comp);
  int ans = Kruskal(n);
  cout << "最小的花费是:" << ans << endl;
 return 0;
}
5.算法复杂度分析

(1)时间复杂度:算法中,需要对边进行排序,若使用快速排序,执行次数为e*loge,算法的时间复杂度为O(e*loge)。而合并集合需要n−1次合并,每次为O(n),合并集合的时间复杂度为O(n2)。

(2)空间复杂度:算法所需要的辅助空间包含集合号数组 nodeset[n],则算法的空间复杂度是O(n)。

6.算法优化拓展

该算法合并集合的时间复杂度为O(n2),我们可以用并查集(见附录E)的思想优化,使合并集合的时间复杂度降为O(e*logn),优化后的程序如下。

代码语言:javascript
复制
//program 2-9
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;
int father[N];
int n, m;
struct Edge {
     int u;
     int v;
     int w;
}e[N*N];
bool comp(Edge x, Edge y) {
     return x.w < y.w;//排序优先级,按边的权值从小到大
}
void Init(int n)
{
     for(int i = 1; i <= n; i++)
          father[i] = i;//顶点所属集合号,初始化每个顶点一个集合号
}
int Find(int x) //找祖宗
{
     if(x != father[x])
     father[x] = Find(father[x]);//把当前结点到其祖宗路径上的所有结点的集合号改为祖宗集合号
     return father[x]; //返回其祖宗的集合号
}
int Merge(int a, int b) //两结点合并集合号
{
     int p = Find(a); //找a的集合号
     int q = Find(b); //找b的集合号
     if(p==q) return 0;
     if(p > q)
           father[p] = q;//小的集合号赋值给大的集合号
     else
           father[q] = p;
     return 1;
}
int Kruskal(int n)
{
     int ans = 0;
     for(int i=0;i<m;i++)
          if(Merge(e[i].u, e[i].v))
          {
              ans += e[i].w;
              n--;
              if(n==1)
                  return ans;
          }
     return 0;
}
int main() 
{
    cout <<"输入结点数n和边数m:"<<endl;
    cin >> n >> m;
    Init(n);
    cout <<"输入结点数u,v和边值w:"<<endl;
    for(int i=0;i<m;i++)
        cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
    sort(e, e+m, comp);
    int ans = Kruskal(n);
    cout << "最小的花费是:" << ans << endl;
    return 0;
}

算法实现和测试

(1)运行环境

Code::Blocks

(2)输入

代码语言:javascript
复制
输入结点数n和边数m:
7 12
输入结点数u,v和边值w:
1 2 23
1 6 28
1 7 36
2 3 20
2 7 1
3 4 15
3 7 4
4 5 3
4 7 9
5 6 17
5 7 16
6 7 25

(3)输出

代码语言:javascript
复制
最小的花费是:57
7.两种算法的比较

(1)从算法的思想可以看出,如果图G中的边数较小时,可以采用Kruskal算法,因为Kruskal算法每次查找最短的边;边数较多可以用Prim算法,因为它是每次加一个结点。可见,Kruskal算法适用于稀疏图,而Prim算法适用于稠密图。

(2)从时间上讲,Prim算法的时间复杂度为O(n2),Kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)。

(3)从空间上讲,显然在Prim算法中,只需要很小的空间就可以完成算法,因为每一次都是从V−U集合出发进行扫描的,只扫描与当前结点集到U集合的最小边。但在Kruskal算法中,需要对所有的边进行排序,对于大型图而言,Kruskal算法需要占用比Prim算法大得多的空间。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划,分享自作者个人站点/博客。
原始发表:2017年12月12日,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自 作者个人站点/博客 前往查看

如有侵权,请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划  ,欢迎热爱写作的你一起参与!

评论
登录后参与评论
0 条评论
热度
最新
推荐阅读
目录
  • 本内容来源于本人著作《趣学算法》,在线章节:http://www.epubit.com.cn/book/details/4825
    • 2.完美图解
      • 3.伪码详解
        • 4.实战演练
          • 5.算法复杂度分析
            • 6.算法优化拓展
              • 7.两种算法的比较
              相关产品与服务
              对象存储
              对象存储(Cloud Object Storage,COS)是由腾讯云推出的无目录层次结构、无数据格式限制,可容纳海量数据且支持 HTTP/HTTPS 协议访问的分布式存储服务。腾讯云 COS 的存储桶空间无容量上限,无需分区管理,适用于 CDN 数据分发、数据万象处理或大数据计算与分析的数据湖等多种场景。
              领券
              问题归档专栏文章快讯文章归档关键词归档开发者手册归档开发者手册 Section 归档