最小二乘法和梯度下降法有哪些区别？ 以及梯度下降法Python实现

相同 1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。 2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：

其中

为第i组数据的independent variable，

为第i组数据的dependent variable，

为系数向量。 不同 1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对

求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个

，然后向

下降最快的方向调整

，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。

最小二乘法源自线性回归，属于数理统计。在回归中样本量（n）会远大于变量数量（m），最小二乘法目的在于解决n个方程解m个未知数的问题。求极值的过程不是最小二乘法的重点，其重点在于平衡了n个样本得出m个方程进而去解m个未知参数。再说其中的极值，线性回归这一前提决定了其天生就只有一个极值点，即全局最小。 梯度上升（下降）法是一个单纯的求极值方法，用以应对各种古怪的极值求解，属于优化算法。具体的@张子权已经说清楚了。

梯度下降法及其Python实现

http://blog.csdn.net/yhao2014/article/details/51554910

梯度下降法（gradient descent），又名最速下降法（steepest descent）是求解无约束最优化问题最常用的方法，它是一种迭代方法，每一步主要的操作是求解目标函数的梯度向量，将当前位置的负梯度方向作为搜索方向（因为在该方向上目标函数下降最快，这也是最速下降法名称的由来）。 梯度下降法特点：越接近目标值，步长越小，下降速度越慢。 直观上来看如下图所示：

这里每一个圈代表一个函数梯度，最中心表示函数极值点，每次迭代根据当前位置求得的梯度（用于确定搜索方向以及与步长共同决定前进速度）和步长找到一个新的位置，这样不断迭代最终到达目标函数局部最优点（如果目标函数是凸函数，则到达全局最优点）。 下面我们将通过公式来具体说明梯度下降法 下面这个h(θ)是我们的拟合函数

也可以用向量的形式进行表示：

下面函数是我们需要进行最优化的风险函数，其中的每一项

都表示在已有的训练集上我们的拟合函数与y之间的残差，计算其平方损失函数作为我们构建的风险函数（参见最小二乘法及其Python实现）

这里我们乘上1/2是为了方便后面求偏导数时结果更加简洁，之所以能乘上1/2是因为乘上这个系数后对求解风险函数最优值没有影响。 我们的目标就是要最小化风险函数，使得我们的拟合函数能够最大程度的对目标函数y进行拟合，即：

后面的具体梯度求解都是围绕这个目标来进行。 批量梯度下降BGD 按照传统的思想，我们需要对上述风险函数中的每个

求其偏导数，得到每个

对应的梯度

这里

表示第i个样本点

的第j分量，即h(θ)中的

接下来由于我们要最小化风险函数，故按照每个参数

的负梯度方向来更新每一个

这里的α表示每一步的步长 从上面公式可以注意到，它得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果m很大，那么可想而知这种方法的迭代速度！！所以，这就引入了另外一种方法，随机梯度下降。 随机梯度下降SGD 因为批量梯度下降在训练集很大的情况下迭代速度非常之慢，所以在这种情况下再使用批量梯度下降来求解风险函数的最优化问题是不具有可行性的，在此情况下，提出了——随机梯度下降 我们将上述的风险函数改写成以下形式：

其中，

称为样本点

的损失函数 接下来我们对每个样本的损失函数，对每个

求其偏导数，得到每个

对应的梯度

然后根据每个参数

的负梯度方向来更新每一个

与批量梯度下降相比，随机梯度下降每次迭代只用到了一个样本，在样本量很大的情况下，常见的情况是只用到了其中一部分样本数据即可将θ迭代到最优解。因此随机梯度下降比批量梯度下降在计算量上会大大减少。 SGD有一个缺点是，其噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。而且SGD因为每次都是使用一个样本进行迭代，因此最终求得的最优解往往不是全局最优解，而只是局部最优解。但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近。 下面是两种方法的图形展示：

从上述图形可以看出，SGD因为每次都是用一个样本点进行梯度搜索，因此其最优化路径看上去比较盲目（这也是随机梯度下降名字的由来）。 对比其优劣点如下： 批量梯度下降： 优点：全局最优解；易于并行实现；总体迭代次数不多 缺点：当样本数目很多时，训练过程会很慢，每次迭代需要耗费大量的时间。 随机梯度下降： 优点：训练速度快，每次迭代计算量不大 缺点：准确度下降，并不是全局最优；不易于并行实现；总体迭代次数比较多。

============ 分割分割 ============= 上面我们讲解了什么是梯度下降法，以及如何求解梯度下降，下面我们将通过Python来实现梯度下降法。

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1. # _*_ coding: utf-8 _*_
2. # 作者: yhao
3. # 博客: http://blog.csdn.net/yhao2014
4. # 邮箱: yanhao07@sina.com
6. # 训练集
7. # 每个样本点有3个分量 (x0,x1,x2)
8. x = [(1, 0., 3), (1, 1., 3), (1, 2., 3), (1, 3., 2), (1, 4., 4)]  
9. # y[i] 样本点对应的输出
10. y = [95.364, 97.217205, 75.195834, 60.105519, 49.342380]  
12. # 迭代阀值，当两次迭代损失函数之差小于该阀值时停止迭代
13. epsilon = 0.0001
15. # 学习率
16. alpha = 0.01
17. diff = [0, 0]  
18. max_itor = 1000
19. error1 = 0
20. error0 = 0
21. cnt = 0
22. m = len(x)  
25. # 初始化参数
26. theta0 = 0
27. theta1 = 0
28. theta2 = 0
30. while True:  
31.     cnt += 1
33. # 参数迭代计算
34. for i in range(m):  
35. # 拟合函数为 y = theta0 * x[0] + theta1 * x[1] +theta2 * x[2]
36. # 计算残差
37.         diff[0] = (theta0 + theta1 * x[i][1] + theta2 * x[i][2]) - y[i]  
39. # 梯度 = diff[0] * x[i][j]
40.         theta0 -= alpha * diff[0] * x[i][0]  
41.         theta1 -= alpha * diff[0] * x[i][1]  
42.         theta2 -= alpha * diff[0] * x[i][2]  
44. # 计算损失函数
45.     error1 = 0
46. for lp in range(len(x)):  
47.         error1 += (y[i]-(theta0 + theta1 * x[i][1] + theta2 * x[i][2]))**2/2
49. if abs(error1-error0) < epsilon:  
50. break
51. else:  
52.         error0 = error1  
54. print ' theta0 : %f, theta1 : %f, theta2 : %f, error1 : %f' % (theta0, theta1, theta2, error1)  
55. print 'Done: theta0 : %f, theta1 : %f, theta2 : %f' % (theta0, theta1, theta2)  
56. print '迭代次数: %d' % cnt  

结果（截取部分）：

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1.  theta0 : 2.782632, theta1 : 3.207850, theta2 : 7.998823, error1 : 7.508687  
2.  theta0 : 4.254302, theta1 : 3.809652, theta2 : 11.972218, error1 : 813.550287  
3.  theta0 : 5.154766, theta1 : 3.351648, theta2 : 14.188535, error1 : 1686.507256  
4.  theta0 : 5.800348, theta1 : 2.489862, theta2 : 15.617995, error1 : 2086.492788  
5.  theta0 : 6.326710, theta1 : 1.500854, theta2 : 16.676947, error1 : 2204.562407  
6.  theta0 : 6.792409, theta1 : 0.499552, theta2 : 17.545335, error1 : 2194.779569  
7.  theta0 : 74.892395, theta1 : -13.494257, theta2 : 8.587471, error1 : 87.700881  
8.  theta0 : 74.942294, theta1 : -13.493667, theta2 : 8.571632, error1 : 87.372640  
9.  theta0 : 74.992087, theta1 : -13.493079, theta2 : 8.555828, error1 : 87.045719  
10.  theta0 : 75.041771, theta1 : -13.492491, theta2 : 8.540057, error1 : 86.720115  
11.  theta0 : 75.091349, theta1 : -13.491905, theta2 : 8.524321, error1 : 86.395820  
12.  theta0 : 75.140820, theta1 : -13.491320, theta2 : 8.508618, error1 : 86.072830  
13.  theta0 : 75.190184, theta1 : -13.490736, theta2 : 8.492950, error1 : 85.751139  
14.  theta0 : 75.239442, theta1 : -13.490154, theta2 : 8.477315, error1 : 85.430741  
15.  theta0 : 97.986390, theta1 : -13.221172, theta2 : 1.257259, error1 : 1.553781  
16.  theta0 : 97.986505, theta1 : -13.221170, theta2 : 1.257223, error1 : 1.553680  
17.  theta0 : 97.986620, theta1 : -13.221169, theta2 : 1.257186, error1 : 1.553579  
18.  theta0 : 97.986735, theta1 : -13.221167, theta2 : 1.257150, error1 : 1.553479  
19.  theta0 : 97.986849, theta1 : -13.221166, theta2 : 1.257113, error1 : 1.553379  
20.  theta0 : 97.986963, theta1 : -13.221165, theta2 : 1.257077, error1 : 1.553278  
21. Done: theta0 : 97.987078, theta1 : -13.221163, theta2 : 1.257041  
22. 迭代次数: 3443  

可以看到最后收敛到稳定的参数值。

注意：这里在选取alpha和epsilon时需要谨慎选择，可能不适的值会导致最后无法收敛。

参考文档：

随机梯度下降（Stochastic gradient descent）和 批量梯度下降（Batch gradient descent ）的公式对比、实现对比

随机梯度下降法

python实现梯度下降算法

作者：张子权 链接：https://www.zhihu.com/question/20822481/answer/16454189 来源：知乎 著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。 作者：richard 链接：https://www.zhihu.com/question/20822481/answer/16455294 来源：知乎 著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。