# 概率论09 期望

### 描述量

(买西瓜之前，先听听声音，可以对西瓜的成熟度有个了解。)

### 期望

$$E(x) = \sum_i x_ip(x_i)$$

$$p(-2) = 999/1000$$

$$p(998) = 1/1000$$

$$E(X) = -2 \times p(-2) + 998 \times p(998) = -1.0$$

$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$$

$$E(X) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-(x - \mu)^2/2 \sigma^2} dx = \mu$$

# By Vamei

from scipy.stats import norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rv = norm(loc=0, scale = 1)
x = np.linspace(-5, 5, 200)

plt.fill_between(x, rv.pdf(x), y2=0.0 color="coral", label="N(0,1)")
plt.axvline(x = rv.mean(), label="E(X)", linewidth=1.5, color="blue")
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.xlim([-5, 5])
plt.ylim([-0.0, 0.5])

plt.title("normal distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")

plt.show()

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda e^{-\lambda x} & if & x \ge 0 \\ 0 & if & x < 0 \end{array} \right.$$

$$E(x) = 1/\lambda$$

# By Vamei

from scipy.stats import expon
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rv = expon(scale = 5)

x = np.linspace(0.0, 30, 100)

print rv.pdf(x)
plt.fill_between(x, rv.pdf(x), y2=0, color="coral", label="0.2")
plt.axvline(x = rv.mean(), label="E(X)", linewidth=1.5, color="blue")
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.xlim([0, 25])
plt.ylim([0, 0.2])
plt.title("exponential distribution")
plt.xlabel("RV")
plt.ylabel("f(x)")

plt.show()

### 期望的性质

$$E(Y) = \sum_x g(x)p(x)$$

$$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$$

[$Y = g(X_1, X_2, ..., X_n)$]。如果[$X_i$]是离散的，且有分布[$p(x_1, ..., x_n)$]，那么当[$\sum_{x_1, ..., x_n}|g(x_1, ..., x_n)|p(x_1, ..., x_n) < \infty$]时，有

$$E(Y) = \sum_{x_1, ..., x_n} g(x_1, ..., x_n)p(x_1, ..., x_n)$$

$$E(Y) = \int\int...\int g(x_1, ..., x_n)f(x_1, ..., x_n)dx$$

$$E[g(X)h(Y)] = {E[g(X)]}{E[h(Y)]}$$

(即[$g(X) = X, h(Y) = Y$]的情况)

$$E(Y) = a + \sum_{i=1}^n b_i E(X_i)$$

$$E(Y) = \sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) k p^k (1-p)^{n-k}$$

$$p(1) = p, p(0) = 1 - p$$

$$E(X) = p$$

$$Y = \sum_{k=i}^{n} X_i$$

$$E(Y) = \sum_{k=i}^{n} E(X_i) = np$$

### 条件期望

(在连续随机变量的情况下，我们使用条件密度函数[$f(x | Y = y)$]来描述条件分布) 对于一个已知的分布，我们可以求得条件分布的期望。对于离散随机变量: $$E(X | Y = y) = \sum_i x_ip(x_i|Y = y)$$ 其中，[$x_i$]为该离散随机变量的可能取值。也就是，在一个新的样本空间(Y = y)上，随机变量X的期望值。 对于连续随机变量，其条件期望为: $$E(X | Y = y) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x|Y = y)dx$$ 一个随机变量的期望为一个数值。但一个条件分布的期望，比如[$E(X | Y = y)$]，会随着随机变量Y的变化而变化。所以，条件期望是随机变量Y的函数。根据随机变量的函数的概念，[$E(X | Y = y)$]可以看作一个新的随机变量。我们可以进一步得到这一新的随机变量的期望[$E(E(X|Y))$]。

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