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和欧拉用 python 养鱼

宠物鱼店主戴夫最近引进了一批彩虹鱼,打算捞一笔,他引进了30条彩虹鱼,每天要卖出20条,未来会发生什么呢?让我们和欧拉预测一波

已知

  • 20条鱼每天能生殖14条小鱼
  • 每条鱼每天平均产出0.7条鱼
  • 照料的很好,死亡率 = 0
  • 简化模型,刚出生的小鱼就能生殖小鱼
  • 鱼缸最大环境承受值750条
  • 越接近环境承受值,小鱼的生育力越低(暗含死亡率)
  • 每天卖出20条小鱼

建模

  1. P(0) = 30 第0天的小鱼数量 P_init = 30
  2. P(1) = P(0) + 0.7 * P(0) - 20 第1天的小鱼的数量
  3. P(t+Δt) = P(t) +0.7 * P(t) * Δt -20 * Δt 第t+Δt天相对第t天的小鱼数量
  4. P(t+Δt) = P(t) +0.7 *(1 - P(t)/750) * P(t) * Δt -20 * Δt 加入环境承受值对于生育率的影响(简单模型)

简单的分析一下P的变化-微分和导数

这是一个P的导数,相关与P函数本身的一个微分方程,Autonomous differential equations 自控微分方程 。看上去是不是很复杂,这个时候我们就要呼唤欧拉了 :欧拉方法,命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉(),是一种一阶数值方法,用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法(Explicit method)。

python实现

函数和初始值
  • 欧拉方法解微分方程的关键点在于Δt的选取,Δt越接近0,函数图像越准确
  • 在这里我们将Δt作为预测函数的参数
def fish_predict(Dt):  #Δt
    t_init = 0 #第0天开始
    t_end = 30 #第30天结束
    P_init = 30 #初始数量30
    n_steps = int(round((t_end-t_init)/Dt)) 

在这里n_steps = (30-0)/Δt ,代表着一共做多少次欧拉方法来绘制函数图像

引入数学分析工具
import numpy as np #矩阵
import matplotlib.pyplot as plt #绘图
建立自变量和因变量矩阵
    t_arr = np.zeros(n_steps + 1) #创建一维矩阵t,记录自变量变化(初始为零) 
    P_arr = np.zeros(n_steps + 1) #创建一维矩阵P,记录因变量变化(初始为零) 
    t_arr[0] = t_init #默认值                      
    P_arr[0] = P_init #默认值   
欧拉方法-步进,得到函数离散值
  • 当前节点函数值 = 前一个节点函数值 + 前一个节点的导数 * 自变量变化量
  • P_arr[i] = P + Dt*dPdt
# Euler's method
    for i in range (1, n_steps + 1):
        P = P_arr[i-1]
        t = t_arr[i-1]
        dPdt = 0.7*P*(1-P/750)-20 #导数                       
        P_arr[i] = P + Dt*dPdt #求当前节点函数值              
        t_arr[i] = t + Dt #自变量步进变化
    return P_arr,t_arr

这样的循环下来,我们就将欧拉方法融入python中,返回两个离散的P_arr、t_arr矩阵,帮助我们描述函数了

在不同变化量下调用函数

为了更加深刻的理解欧拉法求解微分方程,我在这里使用三个不同的变化量使用欧拉方法

p1,t1 = fish_predict(1)
p2,t2 = fish_predict(0.5)
p3,t3 = fish_predict(0.25)
绘图 - 曲线
fig = plt.figure() #创建图像                      
plt.plot(t1, p1, linewidth = 4) #绘制曲线  
plt.plot(t2, p2, linewidth = 4)
plt.plot(t3, p3, linewidth = 4)
绘图 - 标签、轴、网格
plt.title('fish', fontsize = 25) #标签
plt.xlabel('t', fontsize = 20)
plt.ylabel('P(t)', fontsize = 20)
plt.legend(['Dt = 1','Dt = 2','Dt = 3']) #图例
plt.xticks(fontsize = 15) #字体
plt.yticks(fontsize = 15) 
plt.grid(True) #网格                          
plt.axis([0, 25, 0, 800]) #坐标轴范围
图像展示
plt.show()  

通过这么多我们可以分析得出,小店店主可以快乐的天天卖鱼捞金了。不过我才不会告诉他,小鱼要长几个月才能有生育能力。。。

如果对于鱼群的年龄和数量分布再进行分析,增加一个复杂的多为矩阵表示鱼群,也不成问题~

总结

本文对于一个鱼缸进行简单的数学建模、欧拉方法求解,数学转换代码,连续图像离散化,离散点构建图像,numpy构建矩阵,matplotlib.pyplot绘图,python实现。

这个鱼缸的最简模型从来不是python和数学的终点。仅仅是本文,和作者的一个暂时的节点。

本文分享自微信公众号 - 小詹学Python(xiaoxiaozhantongxue)

原文出处及转载信息见文内详细说明,如有侵权,请联系 yunjia_community@tencent.com 删除。

原始发表时间:2018-09-06

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