向量空间相关概念总结-向量

最近发现现在深入去写具体某个概念的时候会用到别的好多概念，就会出现由于别的概念不清楚而新概念整不明白的现象。所以我觉得应该先整理一下都有哪些概念，有个大概的了解之后再去细化的去研究具体某个概念吧。

向量

• 物理含义：有方向的线段
• 数学含义：有序数组
• 代数表示：由于向量是从起点指向终点，这里始终遵循起点为原点O，这样，向量就可以由终点的坐标来表示。比如，二维向量就是（x，y），三维就是（x,y,z）,四五六七八维或更多维同理，只是超过三维的就没有几何意义了，或者可以说生活中基本就见不到可以类比的事物了
• 简单表示：

或

• n维向量：

n维列向量

n维行向量

• 两个向量相等：大小相等，方向相同

向量相等

• 向量的长度：就是起点与终点的距离，记作：

向量长度

• 向量的方向： 用向量和它坐标轴的夹角来表示，比如：

向量方向

• 向量平行：两个向量方向相同或相反就算平行
• 零向量：起点和终点是同一个点，零向量长度是0，注意，零向量与任何一个向量平行，他虽然长度为0，但是他却有无穷多的方向

基础运算

• 向量加法：假设有这么俩向量

他们相加则是：

这个例子为n维列向量，行向量同理

• 向量加法的几何意义

结果为：

• 加法的性质：根据三角形两边之和大于第三方可以得出

当然，如果两个边共线了，那第三个边等于前两个边之和

• 向量数乘：就是一个向量乘以一个数。比如一个向量乘以k，几何意义就是这个向量放大了k倍，k如果是负数那方向就反过来了。k如果是0的话那这个向量就变成零向量了。其实根据字面意思也好理解，就是k倍的某向量嘛，所以向量的各个维度都应该放大k倍，这样就好理解向量的代数表示了。
• 向量数乘的代数表示：

行向量同理

• 运算规则：

加法交换律

加法结合律

数乘交换律

数乘结合律

数乘分配律

• 不管是向量加法还是数乘，都算向量的运动，或者向量的变换
• 注：点积还是单独记录吧（本文章的图部分来源自“马同学高等数学”）