向量空间相关概念总结-线性相关

这是一个我觉得很重要也很常用的概念，所以单独拿出来记录一下，因为后面的秩和基还有其他的一些概念都会用到这个知识点

• 向量组： 若干同维数的列向量（或者同维数的行向量）所组成的集合，叫做向量组。 大白话就是：有一个集合，它里面都是同维数的向量
• 线性表示： 就像炒一盘菜，这盘菜的成品可以看成是一个向量，那炒菜用的各种材料可以看成是一个向量组，那这盘菜就可以表示成这样： 菜 =（50盐+20油+100*肉+...） 这个场景下，就可以说这个菜向量可以由材料向量组线性表示
• 线性组合： 如果一个向量，能被一个向量组线性表示，那么这个向量就叫做这个向量组的线性组合。
• 线性相关： 上面菜的例子里，菜向量和材料向量组是线性相关的。刚才的例子，如果把菜向量也放到等号的另一边的话就会得出我们线性相关的定义： 0 =（50盐+20油+100*肉+...）+（-菜） 即：

严格定义： 如果存在不全为零的实数k1、k2...km，使上面的等式成立，则这个向量组线性相关，否则线性无关。 注：这里这个向量组里是包含那个“菜向量”的，这时候任何一个向量单独拿出来，对剩下的向量的向量组来说都是线性相关的，比如把盐拿出来的话，那就相当于菜向量+那些负的材料向量就能得到盐向量

• 线性相关的代数表示： 因为k不全为0，所以假设k1不为0：

整理得：

因此，a1是a2..am的线性组合，因此，a1与剩下的向量组线性相关，但是刚才的式子里a1其实还可以替换成其他的向量，所以这个式子可以证明这个向量组里的任何一个向量，都可以由剩下的向量线性表示。

• 线性相关的几何理解： 从最简单的模型来看，假设一个向量组里只有一个向量，那么命题就可以转换成两个向量线性相关，从图可以看出点猫腻：

左边的两个向量是线性相关的，右边则不是。也就是说，当且仅当他们落在过原点的同一直线上，两个向量线性相关。 含有多个向量的向量组最终也可以看作是两个向量，除了要讨论的向量，其他的向量经过线性组合之后结果还是一个向量。

• 特性：如果一个向量组里包含零向量那么这个向量组就线性相关 因为它可以看成其他的k都为0，只有零向量的k不为0的向量组，结合上面的公式你瞅瞅，恒成立。。没办法，零向量叼

• 什么是线性？为什么叫线性？ 说了半天线性这线性那了，到底什么是线性。我个人的理解： 图像是一个直线的：y=kx+b 这个公式很熟悉吧，换种写法： 0= kx+jy+b 前面说了咱们的向量都过原点，所以b得是0才行，那么： 0=kx+jy 也就是说咱们向量的加减和数乘的变化都是线性的均匀的变化。 就像匀速行驶的汽车，从一个地点直线到另一个地点的位置变化，可以看作坐标系里的一个点，经过一个线性变化到达了目的地，而我们默认向量的起点为坐标原点，所以这个汽车的位置也可以看作是从原点到汽车的一个向量，经过线性变化后变成了新向量。