向量空间相关概念总结-基

张成空间

之前的向量空间一节已经说过：向量空间对向量的线性组合封闭（相加和数乘），所以，向量空间可以通过“向量+线性组合”构成。也可以说，这个向量空间由这些向量所张成，反过来，这个向量空间就叫做这些向量的张成空间。 比如向量组：

u、v、w三个向量的张成空间

等价向量组

如果有两个向量组，若其中一个向量组中的每一个向量都能由另一个向量组线性表示，则成这个向量组能被另一个向量组线性表示，如果他俩能互相线性表示，那么就称这两个向量组等价

最大线性无关组

假设有个向量空间叫动物，它里面有[老人，小孩，猫，狗]，这里面的小孩经过时间的线性变化会变成老人，所以它的最大线性无关组应该是[小孩，猫，狗]

秩

假设有个向量组A，如果A里面可以选出r个向量，这r个向量线性无关，且这r个向量如果再多加一个向量都会变成线性相关的，那么这r个向量就是A的一个最大线性无关组，而最大无关组所含的向量个数r就叫做向量组A的秩,记作rank(A),有事也记作R(A)。 注意：只含有0向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。因为前面说过，任和一个向量组只要有0向量，那一定线性相关。

基

一个向量空间的最大线性无关组也是这个向量空间的一个基 注意：一个向量空间的基并不是唯一的，一般都是有多个。另外，选取不同的基，同位置的坐标不同 几何理解：基可以看作是坐标系

维度和秩的关系

向量空间的秩，我们一般就叫做维度

向量维数与空间维度的关系

如图，P是一个三维向量，但是它也可以看成是在一个二维空间中，但是二维的向量不可能存在在三维或更高维的空间中，所以：

自然基

能让向量空间中的所有向量的坐标用这些基向量的倍数表示的基，叫做这个向量空间的自然基。比如，我们常用的二维向量空间的基：