定积分的精确定义

定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!

计算定积分时,几乎都是用牛顿-莱布尼兹公式。该公式并没有很好的反映定积分的本质,并且很多情况下找不到原函数。只能用数值方法求解。目前,各种数值积分方法都是基于定积分的精确定义的。因此,弄清定积分的定义有助于理解这些数值算法。

】 (1 )区间[xk-1,xk]长度可以是任意的,并不需要均匀划分,而f(ksi)在小区间的取值也是任意的,可以在端点,也可以在区间内部。 (2 )若函数f(x)<0,曲边梯形在x轴下方,面积就是负的,即定积分的值是负的。 (3 )当我们说到“a到b上的定积分”时,不要总认为a<b,事实上,a>b的情形也是可以的,只不过注意a<b时,dx>0。而a>b时,dx<0。

定积分的精确定义由德国数学家黎曼(Bernhard Riemann)给出,故这种积分又称黎曼积分。曲线积分,曲面积分等与定积分既有区别,又有联系。

原文发布于微信公众号 - 数值分析与有限元编程(program_fem)

原文发表时间:2018-11-14

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