1.png
在上面这个直角三角形里,C为直角,A, B为非直角,角C对应的斜边为c,角B对应的直角边为b,角A对应的直角边为a。
定义: 正弦值为对边的值比斜边的值,记为sin 余弦值为邻边的值比斜边的值,记为cos 正切值为对边的值比邻边的值,记为tan 余切值为邻边的值比对边的值,记为cot
在上图所示的三角形中: (1)sin A = ∠A的对边 / 斜边 = a / c (2)cos A = ∠A的邻边 / 斜边 = b / c (3)tan A = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = a / b (4)cot A = ∠A的邻边 / ∠A的对边 = b / a 这里容易看出: (5)sin A / cos A = (a / c) / (b / c) = a / b = tan A (6)cos A / sin A = (b / c) / (a / c) = b / a = cot A (7)tan A * cot A = 1, tan A = 1 / cot A, cot A = 1 / tan A
同理: (8)sin B = b / c (9)cos B = a / c (10)tan B = b / a = 1 / cot B (11)cot B = a / b = 1 / tan B 这里可以看出, (12)sin B = cos A = cos(90 - B) (13)cosB = sin A = sin(90 - B)
2.png
如图2所示,角B接近0度,角A接近90度。把b边继续往下压,最终A和C会重合,也就是说,三角形会变成一条线段,此时b = 0,a = c,sin B = sin 0 = b / c = 0,sin A = sin 90 = a / c = 1
3.png
如图3所示,∠A = 60度, ∠B = 30度,取AB的中点M,延长CM到D,使得CM = MD。 根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形为平行四边形”可知,ACBD是平行四边形。 因为∠C = 90度,所以ACBD是矩形。则 MD = CM = AM = MB。这样就得到了直角三角形的斜边中线定理:直角三角形斜边上的路线等于斜边的一半。 所以三角形ACM是等腰三角形。又因为∠A = 60度,所以三角形ACM是等边三角形。所以AC = AM = AB / 2,即c = 2b。根据勾股定理, a = √(c2 - b2) = √(3b2) = √3 * b sin B = sin 30 = b / c = 1 / 2。 sin A = sin 60 = a / c = (√3 * b)/(2b) = √3 / 2
4.png
如图4所示,∠A = ∠B = 45度,则a = b。 根据勾股定理, a2 + b2 = c2 ==> 2a2 = c2 ==> √2 * a = c ==> sinA = sin 45 = a / c = a / (√2 * a) = √2 / 2
综上, sin 0 = √0 / 2 = 0 sin 30 = √1 / 2 = 1 / 2 sin 45 = √2 / 2 sin 60 = √3 / 2 sin 90 = √4 / 2 = 1
由上面的式子(13)可得, cos 0 = sin(90 - 0) = 1 cos 30 = sin(90 - 30) = sin 60 = √3 / 2 cos 45 = sin(90 - 45) = sin 45 = √2 / 2 cos 60 = sin(90 - 60) = sin 30 = 1 / 2 cos 90 = sin(90 - 90) = sin 0 = 0
根据上面的式子(5), tan 0 = sin 0 / cos 0 = 0 tan 30 = sin 30 / cos 30 = (1 / 2) / (√3 / 2) = 1 / √3 = √3 / 3 tan 45 = sin 45 / cos 45 = (√2 / 2) / (√2 / 2) = 1 tan 60 = sin 60 / cos 60 = (√3 / 2) / (1 / 2) = √3 tan 90 = sin 90 / cos 90 = 1 / 0 = ∞ (注意,分母不等为0,这里可以把0理解为一个无限接近于0的很小的数。1除于很小的数等于∞。)
根据上面的式子(7), cot 0 = 1 / tan 0 = ∞ cot 30 = 1 / tan 30 = 1 / (√3 / 3) = 3 / √3 = √3 cot 45 = 1 / tan 45 = 1 cot 60 = 1 / tan 60 = 1 / √3 = √3 / 3 cot 90 = 1 / tan 90 = 1 / ∞ = 0
本文分享自 KidsCode少儿编程 微信公众号,前往查看
如有侵权,请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。
本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划 ,欢迎热爱写作的你一起参与!