小朋友学奥数（22）：三角函数

一、定义

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在上面这个直角三角形里，C为直角，A, B为非直角，角C对应的斜边为c，角B对应的直角边为b，角A对应的直角边为a。

定义： 正弦值为对边的值比斜边的值，记为sin 余弦值为邻边的值比斜边的值，记为cos 正切值为对边的值比邻边的值，记为tan 余切值为邻边的值比对边的值，记为cot

在上图所示的三角形中： （1）sin A = ∠A的对边 / 斜边 = a / c （2）cos A = ∠A的邻边 / 斜边 = b / c （3）tan A = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = a / b （4）cot A = ∠A的邻边 / ∠A的对边 = b / a 这里容易看出： （5）sin A / cos A = (a / c) / (b / c) = a / b = tan A （6）cos A / sin A = (b / c) / (a / c) = b / a = cot A （7）tan A * cot A = 1, tan A = 1 / cot A, cot A = 1 / tan A

同理： （8）sin B = b / c （9）cos B = a / c （10）tan B = b / a = 1 / cot B （11）cot B = a / b = 1 / tan B 这里可以看出， （12）sin B = cos A = cos(90 - B) （13）cosB = sin A = sin(90 - B)

二、推导0度，30度，45度，60度，90度角的正弦值、余弦值、正切值和余切值

（一）求正弦

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如图2所示，角B接近0度，角A接近90度。把b边继续往下压，最终A和C会重合，也就是说，三角形会变成一条线段，此时b = 0，a = c，sin B = sin 0 = b / c = 0，sin A = sin 90 = a / c = 1

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如图3所示，∠A = 60度, ∠B = 30度，取AB的中点M，延长CM到D,使得CM = MD。 根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形为平行四边形”可知，ACBD是平行四边形。 因为∠C = 90度，所以ACBD是矩形。则 MD = CM = AM = MB。这样就得到了直角三角形的斜边中线定理：直角三角形斜边上的路线等于斜边的一半。 所以三角形ACM是等腰三角形。又因为∠A = 60度，所以三角形ACM是等边三角形。所以AC = AM = AB / 2，即c = 2b。根据勾股定理, a = √(c2 - b2) = √(3b2) = √3 * b sin B = sin 30 = b / c = 1 / 2。 sin A = sin 60 = a / c = (√3 * b)/(2b) = √3 / 2

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如图4所示，∠A = ∠B = 45度，则a = b。 根据勾股定理， a2 + b2 = c2 ==> 2a2 = c2 ==> √2 * a = c ==> sinA = sin 45 = a / c = a / (√2 * a) = √2 / 2

综上， sin 0 = √0 / 2 = 0 sin 30 = √1 / 2 = 1 / 2 sin 45 = √2 / 2 sin 60 = √3 / 2 sin 90 = √4 / 2 = 1

（二）求余弦

由上面的式子（13）可得， cos 0 = sin(90 - 0) = 1 cos 30 = sin(90 - 30) = sin 60 = √3 / 2 cos 45 = sin(90 - 45) = sin 45 = √2 / 2 cos 60 = sin(90 - 60) = sin 30 = 1 / 2 cos 90 = sin(90 - 90) = sin 0 = 0

（三）求正切

根据上面的式子（5）， tan 0 = sin 0 / cos 0 = 0 tan 30 = sin 30 / cos 30 = (1 / 2) / (√3 / 2) = 1 / √3 = √3 / 3 tan 45 = sin 45 / cos 45 = (√2 / 2) / (√2 / 2) = 1 tan 60 = sin 60 / cos 60 = (√3 / 2) / (1 / 2) = √3 tan 90 = sin 90 / cos 90 = 1 / 0 = ∞ （注意，分母不等为0，这里可以把0理解为一个无限接近于0的很小的数。1除于很小的数等于∞。）

（四）求余切

根据上面的式子（7）， cot 0 = 1 / tan 0 = ∞ cot 30 = 1 / tan 30 = 1 / (√3 / 3) = 3 / √3 = √3 cot 45 = 1 / tan 45 = 1 cot 60 = 1 / tan 60 = 1 / √3 = √3 / 3 cot 90 = 1 / tan 90 = 1 / ∞ = 0