【优质题解】题解1110：2^k进制数 减法思维（C语言描述）

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件： （1）r至少是个2位的2^k 进制数。 （2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。 （3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。 在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k〈w≤30000）是事先给定的。 问：满足上述条件的不同的r共有多少个？ 我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。 例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（2^3=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有： 2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。 3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。 所以，满足要求的r共有36个。

输入

只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：k w

输出

1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。 （提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

样例输入

3 7

样例输出

36

解题思路

因为只要保证每个位置上的数不相同，自然可以把它们从小到大排列

所以只需从第二个数（从右往左）一直计算当前位置的排列数最后加起来就行

因为除最高位以外，别的位置的范围都是从 1 到 进制数减去当前位置 所以先计算除最高位以外的排列数，再计算最高位的排列数

注意事项

最高位的排列数应该用减法思维，即拿k=3,w=8来说，最高位只能取1-3，实际计算的时候应该拿最高位可以取1-7的情况减去最高位可以取4-7的情况，因为假设最高位取了2，后面只能比前面大，所以此时要排除后面取1和2的情况，计算量大。如果计算4-7，则最高位和后面都只能取4-7，不存在最高位能取后面不能取的情况，即最高位和后面都只能取4-7等于从4张牌里挑3张，共4种，最高位可以取1-7即7张牌里挑3张，共35种，35减4=31

当然加法也可以做，即最高位取1加最高位取2加最高位取3，即最高位取1，后面6张挑2张，等于15，最高位取2，后面取不了1了，5张挑2张，等于10，最高位取3，后面取不了1和2了，4张挑2张，等于6，15+10+6=31

最终答案用最高位排列数加上最高位以外的排列数即 31+21=52

参考代码

//

// main.cpp

// 2^k进制数

//

// Created by 榎本贵音 on 2018/8/30.

// Copyright © 2018年 榎本贵音. All rights reserved.

//

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#include<math.h>

long C(int n,int m) //C(n-1)(m)计算排列数，其中n为最大数值+1（进制），m为当前位置

{

int i;

long sum=1;

for(i=1;i<=m;i++)

sum*=(n-i);

for(i=2;i<=m;i++)

sum=sum/i;

return sum;

}

int main()

{

long sum=0; //sum用于计算符合的总数

int k,w,max,wei,high,i; //max为X进制,wei为位数,high为最高位能取得的最大数,i循环用

scanf("%d%d",&k,&w);

max=pow(2,k);

wei=w/k+1; //设w不能除尽k,所以设多一位

high=pow(2,w%k)-1; //假设w能除尽k,最高位high能取得的最大数为0

if(max-wei<high)

high=max-wei; //high既小于二进制余出来的位数所能得到的最大数又小于X进制减位数

for(i=2;i<wei;i++) //从第二位开始(从右往左),对每一位数(除最高位)计算排列数

sum+=C(max,i);

if(high!=0)

sum+=(C(max,wei)-C(max-high,wei)); //计算最高位的排列数

printf("%ld",sum);

return 0;

}