数学小记之卷积
数学小记之卷积
本文简述了1维卷积和2维卷积的实现
一维卷积
描述卷积的方式很多,譬如这个:
- 一个函数在另一个函数上的加权叠加
虽然各个解释都有助于我们对卷积的理解,但是个人感觉还是直接通过公式来了解卷积更为直观(简单起见,这里我们仅讨论卷积的离散定义):
f(x)∗g(x)=∑n=−∞∞f(n)g(x−n) f(x)*g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)g(x - n) f(x)∗g(x)=n=−∞∑∞f(n)g(x−n)
注意一下这个公式,其所表达的意思是: f 和 g 这两个函数在 x 处的卷积值,而这个在 x 处的卷积值是通过取遍自变量 n 的"所有值(从负无穷到正无穷)"而计算出来的
当然,对于实际给出的 f 函数(序列) 和 g 函数(序列) 都不会是无穷的,所以计算过程中自变量 n 的取值自然也不会是无穷的,举个简单的例子,假设我们有以下的函数(序列):
f(0)=1,f(1)=2,f(2)=3g(0)=4,g(1)=5,g(2)=6 f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 3\\ g(0) = 4, g(1) = 5, g(2) = 6 f(0)=1,f(1)=2,f(2)=3g(0)=4,g(1)=5,g(2)=6
并设 f 和 g 的卷积结果为 h, 那么 h(1) 等于多少呢?
f(1)∗g(1)=h(1)=? f(1)*g(1) = h(1) = ? f(1)∗g(1)=h(1)=?
我们来套用一下之前的公式:
f(1)∗g(1)=h(1)=∑n=−∞∞f(n)g(1−n) f(1)*g(1) = h(1) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)g(1 - n) f(1)∗g(1)=h(1)=n=−∞∑∞f(n)g(1−n)
考虑到 n 和 1 - n 的合法范围(n 需为 f 的合法索引,1 - n 需为 g 的合法索引),我们有:
0=min_index(f)<=n<=max_index(f)=20=min_index(g)<=1−n<=max_index(g)=2  ⟹  0<=n<=1 0 = min\_index(f) <= n <= max\_index(f) = 2\\0 = min\_index(g) <= 1 - n <= max\_index(g) = 2\\\implies0 <= n <= 1 0=min_index(f)<=n<=max_index(f)=20=min_index(g)<=1−n<=max_index(g)=2⟹0<=n<=1
所以对于 h(1) 来说 自变量 n 有两个合法取值: 0 和 1, 于是我们有:
f(1)∗g(1)=h(1)=f(0)g(1−0)+f(1)g(1−1)=f(0)g(1)+f(1)g(0)=1∗5+2∗4=13 f(1)*g(1) = h(1) = f(0)g(1 - 0) + f(1)g(1 - 1) = f(0)g(1) + f(1)g(0) = 1 * 5 + 2 * 4 = 13 f(1)∗g(1)=h(1)=f(0)g(1−0)+f(1)g(1−1)=f(0)g(1)+f(1)g(0)=1∗5+2∗4=13
其余的卷积数值也可以依样进行计算,有兴趣的朋友可以自行试下~
下面是使用 Lua 实现的一维卷积示例:
local function dimension(f)
if type(f) == "table" then
local dim = #f
if dim > 0 then
return dim, dimension(f[1])
else
return 0
end
end
end
local function value(f, ...)
if f then
local dim_index = { ... }
for i = 1, #dim_index do
local index = dim_index[i]
f = f[index]
if not f then
return 0
end
end
end
return f
end
-- 1d convolution, sample f(array with 3 elements) and g(array with 3 elements), h is convolution result(array index is from 0)
-- h(0) = f(0) * g(0)
-- h(1) = f(0) * g(1) + f(1) * g(0)
-- h(2) = f(0) * g(2) + f(1) * g(1) + f(2) * g(0)
-- h(3) = f(1) * g(2) + f(2) * g(1)
-- h(4) = f(2) * g(2)
function convolution_1d(f, g)
local row_1 = dimension(f)
local row_2 = dimension(g)
if row_1 > 0 and row_2 > 0 then
local h = {}
local n = row_1 + row_2 - 2
for i = 0, n do
local sum = 0
for j = 0, i do
sum = sum + value(f, j + 1) * value(g, i - j + 1)
end
table.insert(h, sum)
end
return h
end
end示例中的 dimension函数 和 value函数 对于不熟悉 Lua 的朋友可能会造成些阅读障碍(对于示例来说确实有些过度技巧化了),在此我们可以简单理解:
- dimension(f) 获取 f 的数组个数(支持多维数组)
- value(f, …) 获取 f 在 …(不定参数) 所给定的索引处的数值,数值不存在则返回 0 (支持多维数组)
二维卷积
二维卷积可以使用一维卷积来进行类比,在此仅给出(离散定义)公式和相关示例实现(使用 Lua):
f(x,y)∗g(x,y)=∑m=−∞∞∑n=−∞∞f(m,n)g(x−m,y−n) f(x, y)*g(x, y) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(m, n)g(x - m, y - n) f(x,y)∗g(x,y)=m=−∞∑∞n=−∞∑∞f(m,n)g(x−m,y−n)
示例代码如下,其中的 dimension函数 和 value函数 即来自于之前的示例代码,在此不再重复列出:
-- 2d convolution, sample f(matrix 3 * 3) and g(matrix 2 * 2), h is convolution result(matrix index is from (0, 0))
-- h(0, 0) = f(0, 0) * g(0, 0)
-- h(0, 1) = f(0, 0) * g(0, 1) + f(0, 1) * g(0, 0)
-- h(0, 2) = f(0, 1) * g(0, 1) + f(0, 2) * g(0, 0)
-- h(0, 3) = f(0, 2) * g(0, 1)
-- h(1, 0) = f(0, 0) * g(1, 0) + f(1, 0) * g(0, 0)
-- h(1, 1) = f(0, 0) * g(1, 1) + f(0, 1) * g(1, 0) + f(1, 0) * g(0, 1) + f(1, 1) * g(0, 0)
-- h(1, 2) = f(0, 1) * g(1, 1) + f(0, 2) * g(1, 0) + f(1, 1) * g(0, 1) + f(1, 2) * g(0, 0)
-- h(1, 3) = f(0, 2) * g(1, 1) + f(1, 2) * g(0, 1)
-- h(2, 0) = f(1, 0) * g(1, 0) + f(2, 0) * g(0, 0)
-- h(2, 1) = f(1, 0) * g(1, 1) + f(1, 1) * g(1, 0) + f(2, 0) * g(0, 1) + f(2, 1) * g(0, 0)
-- h(2, 2) = f(1, 1) * g(1, 1) + f(1, 2) * g(1, 0) + f(2, 1) * g(0, 1) + f(2, 2) * g(0, 0)
-- h(2, 3) = f(1, 2) * g(1, 1) + f(2, 2) * g(0, 1)
-- h(3, 0) = f(2, 0) * g(1, 0)
-- h(3, 1) = f(2, 0) * g(1, 1) + f(2, 1) * g(1, 0)
-- h(3, 2) = f(2, 1) * g(1, 1) + f(2, 2) * g(1, 0)
-- h(3, 3) = f(2, 2) * g(1, 1)
function convolution_2d(f, g)
local row_1, col_1 = dimension(f)
local row_2, col_2 = dimension(g)
if row_1 > 0 and col_1 > 0 and row_2 > 0 and col_2 > 0 then
local h = {}
local m = row_1 + row_2 - 2
local n = col_1 + col_2 - 2
for i = 0, m do
for j = 0, n do
local sum = 0
for k1 = 0, i do
for k2 = 0, j do
sum = sum + value(f, k1 + 1, k2 + 1) * value(g, i - k1 + 1, j - k2 + 1)
end
end
h[i + 1] = h[i + 1] or {}
h[i + 1][j + 1] = sum
end
end
return h
end
end