Savitsky-Golay 平滑算法

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名称

Savitsky-Golay平滑算法

作用

信号平滑处理可以除去高频噪音对数据信号的干扰,是消除噪音最常用的一种方法

算法原理

通过多项式对移动窗口内的数据进行多项式最小二乘拟合,算出窗口内中心点关于其周围点的加权平均和。

计算公式:

(3-1)

式(3-1)中的

为平滑前、后的数据,
是移动窗口平滑中的权重因子(窗口长度 2r + 1)。

窗口移动多项式拟合的基本思想是:利用多项式对窗口内 N = 2r + 1 的波谱点进行多项式最小二乘拟合,将窗口内等距离的数据拟合成 k 次多项式:

其中
为待定系数或权重。

实例

以窗口为5的二次多项式为例进行拟合。

设有5个数据对(等间隔):

,进行二次多项式拟合:

应用最小二乘法,使误差

达到最小,所以分别对
进行求导
,得:

(4-1)
由于等间隔,所以
,式(4-1)可化为
(4-2)

注意式(4-2)下标的改变

(4-3)

由式(4-2)和式(4-3)即可求得:

(4-4)

对于中心点,也即所求的平滑点,其值为:

由式(4-4)知

故权重为

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