# II. 同态&同构

• $$\Phi:V→W \,\,\, linear$$: 同态 (Homomorphism)
• $$\Phi:V→W \,\,\, linear \,\, and \,\, injective$$: 单一同态 (Monomorphism)
• $$\Phi:V→W \,\,\, linear \,\, and \,\, surjective$$: 满同态 (Surjective Homomorphism)
• $$\Phi:V→W \,\,\, linear \,\, and \,\, bijective$$: 同构 (Isomorphism)
• $$\Phi:V→V \,\,\, linear$$: 自同态 (Endomorphism)
• $$\Phi:V→V \,\,\, linear \,\, and \,\, injective$$: 单一自同态 (Monomorphic Endomorphism)
• $$\Phi:V→V \,\,\, linear \,\, and \,\, surjective$$: 满自同态 (Surjective Endomorphism)
• $$\Phi:V→V \,\,\, linear \,\, and \,\, bijective$$: 自同构 (Automorphism)

• 如果有线性映射$$\Phi:V→W$$和$$\Psi:W→X$$,那么映射$$\Phi◦\Psi:V→X$$也是线性映射；
• 如果$$\Phi:V→W$$是同构(isomorphsim),那么$$\Phi^{-1}:V→W$$也是同构；
• 如果$$\Phi:V→W,\Psi:V→W$$都是线性映射，那么$$\Psi+\Phi$$和$$\lambda\Phi,\lambda∈R$$也都是线性的。

## 3. 核(kernel)与象(Image)

• 核(Kernel/null space): 假设有映射$$\Phi:V→W$$,核(kernel)为： $ker(\Phi)=\Phi^{-1}(0_w)=\{v∈V:\Phi(v)=0_w\}$

• 象(Image/Range)

$Im(\Phi)=\Phi(V)=\{w∈W|\exists v∈V:\Phi(v)=w\}$

• 始终有$$\Phi(0_V)=0_W$$，即$$0_V∈ker(\Phi)$$
• $$Im(\Phi),Ker(\Phi)$$分别是$$W,V$$的子空间
• 当且仅当$$Ker(\Phi)=\{0\}$$时，$$\Phi$$是单射。

Rank-Nullity Theorem(秩-零定理):对于映射$$\Phi:V→W$$始终满足如下等式: $dim(Ker(\Phi))+dim(Im(\Phi))=dim(V)$

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