对一元函数f(x)来说,就极值而言,一阶导为0是极值点的必要但不充分条件。
一阶导为0且二阶导非负是极小值的充要条件。
这是为什么呢? 今天我们尝试直观地解释这个问题。
根据泰勒展开:
如果满足:一阶导为0,二阶导非负,因此,dx不论是多少,f(x) 一定不比 f(x0) 小,所以 f(x0)是极小值。
对于多元函数而言,泰勒展开的主要区别在于:二阶导变成了Hessian矩阵(红框所示),如下所示:
只有红框的矩阵一直非负,我们才能说这是极小值,可类别一元函数的情况。
了解的同学或许已经看出,红框与左右两侧连起来,就是重要的一个定义:(半)正定二次型,定义如下:
一直大于等于0
它就是这么引出来的,也是我们为什么需要半正定这个概念的原因(之一)。
以上,希望能帮助到大家,欢迎点赞鼓励。
明天考研,祝同学们在考场上镇定自若,冷静思考,考出理想成绩,实现自己的梦想!
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