NYOJ 119 士兵杀敌(三) (RMQ)

        RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

主要方法及复杂度如下：

1. 朴素(即搜索)，O(n)-O(qn) online。

2. 线段树，O(n)-O(qlongn) online。

3. ST(实质是动态规划)，O(nlogn)-O(q) online。

    ST算法(Sparse Table)，以求最大值为例，设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k，即k=[In(b-a+1)/In(2)]。

     d的求法可以用动态规划，d[i,j] = max(d[i,j-1], d[i+2^(j-1),j-1])。

4. RMQ标准算法：先规约成LCA(Lowest Common Ancestor)，再规约成约束RMQ，O(n)-O(q) online。

     首先根据原数列，建立笛卡尔树，从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ，也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法，故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。

                                                                                                                                                           以上内容来自百度百科

题目链接：http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=119

       这道题就是一道RMQ的问题，这里我用了ST算法来解，求出区间的最大值和最小值，然后输出差值。没什么好说的，RMQ的ST解法的模板题吧算是。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
int a[maxn][20],b[maxn][20];

void ST(){
  for(int j=1; (1<<j) <= n; j++){
    for(int i=1; (i + (1<<j) - 1 ) <= n; i++){
      a[i][j] = max(a[i][j-1], a[i+(1<<(j-1))][j-1]);
      b[i][j] = min(b[i][j-1], b[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    }
  }
}

void RMQ(int l,int r){
  int k = (int)(log(r-l+1.0)/log(2.0));
  int ans1 = max(a[l][k], a[r-(1<<k)+1][k]);
  int ans2 = min(b[l][k], b[r-(1<<k)+1][k]);
  printf("%d\n",ans1 - ans2);
}

int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i][0]);
    b[i][0] = a[i][0];
  }
  ST();
  while(m--){
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    RMQ(x,y);
  }
  return 0;
}