Moore-Penrose广义逆矩阵

#起源

设A是n\times n可逆方正，b是任意一个n维向量，则方程组Ax=b总有解，且解x可表示为x=A^{-1}b.

现在设A是m\times n可逆方正，b是一个m维向量，是否存在m\times n矩阵G，使得方程Ax=b总有解，且解x可表示为x=Gb.

这样的矩阵G就涉及到广义逆的概念。

广义逆也叫伪逆，一般是指Moore-Penrose广义逆矩阵。

#定义

设A \in C^{m\times n}，如果G \in C^{n\times m}满足

(1)\quad AGA=A, \\(2)\quad GAG=G, \\(3)\quad (AG)^{H}=AG, \\(4)\quad (GA)^{H}=GA,

则G为A的Moore-Penrose广义逆矩阵，简称M-P广义逆，记为A^{+}或者A^{\dagger}.

注：A^{H}为A的转置共轭矩阵.

#广义逆的满秩算法

1. 设A为列满秩矩阵，则A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H};
2. 设A为行满秩矩阵，则A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1};
3. 设A=LR，其中L为列满秩矩阵，R为行满秩矩. 则A^{+}=R^{+}L^{+}=R^{H}(RR^{H})^{-1}(L^{H}L)^{-1}L^{H}.