#起源
设A是n\times n可逆方正,b是任意一个n维向量,则方程组Ax=b总有解,且解x可表示为x=A^{-1}b.
现在设A是m\times n可逆方正,b是一个m维向量,是否存在m\times n矩阵G,使得方程Ax=b总有解,且解x可表示为x=Gb.
这样的矩阵G就涉及到广义逆的概念。
广义逆也叫伪逆,一般是指Moore-Penrose广义逆矩阵。
#定义
设A \in C^{m\times n},如果G \in C^{n\times m}满足
(1)\quad AGA=A, \\(2)\quad GAG=G, \\(3)\quad (AG)^{H}=AG, \\(4)\quad (GA)^{H}=GA,
则G为A的Moore-Penrose广义逆矩阵,简称M-P广义逆,记为A^{+}或者A^{\dagger}.
注:A^{H}为A的转置共轭矩阵.
#广义逆的满秩算法