常用向量和矩阵的范数

#向量的范数

任意x \in C^n，设x=(\xi _{1}, \xi _{12}, ... , \xi _{n})^{T}，常用的范数有

1. 2-范数\|x\|_{2}=(\sum _{i=1}^{n}|\xi _i|^2)^{\frac{1}{2}}
2. 1-范数\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|\xi _i|
3. \infty-范数\|x\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}|\xi _i| 以上三种范数都是以下p-范数的特例：\|x\|_{p}=(\sum _{i=1}^{n}|\xi _i|^p)^{\frac{1}{p}}, \quad 1 \leqslant p \leqslant +\infty 1-范数和2-范数显然是p-范数在p=1和p=2的特殊情形. #矩阵的范数 与向量x \in C^n的几种范数相对应，矩阵A=[a_{ij}] \in C^{m \times n}有范数 \| A \| _1=\sum _{i=1} ^{m}{\sum _{j=1} ^n {|a_{ij}|}}, \| A \| _2=\| A \| _F=(\sum _{i=1} ^{m}{\sum _{j=1} ^n {|a_{ij}|^2}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{tr(A^{H}A)}, \| A \| _\infty=\max_{i,j}|a_{ij}| \| A \| _p=(\sum _{i=1} ^{m}{\sum _{j=1} ^n {|a_{ij}|^p}})^{\frac{1}{p}}, \quad 1\leqslant q \leqslant +\infty 2-范数也叫Frobenius范数。