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最大信息系数(MIC)

MIC(Maximal information coefficient)一个很神奇的东西,源自于2011年发在sicence上的一个论文。

学过统计的都知道,有相关系数这么一个东西,通常叫做r。但是其实应该叫做线性相关系数,应用领域还是很窄的。而MIC这个东西呢,首先比较general,不管是什么函数关系,都可以识别,换句话说,正弦函数和双曲线函数和直线,对这个系数而言是一样的。此外还有一点,那就是,如果没有噪音的直线关系和没有噪音的正弦函数关系,他们的MIC都是1,加上相同的噪音之后,如果线性关系的MIC变成0.7了,那么正弦函数关系的MIC也变成0.7,换句话说,噪音对MIC造成的影响与变量之间的函数关系无关。当然这一论证在一篇论文中被反驳了,或者说部分反驳了。

为了说明白这个方法,首先引入一个Mutual inforamtion的东西:

是这么定义的。这里x和y是两个联系的随机变量,这个系数也可以用来衡量相关性,但是有很多缺点。比如,非均一性。不过这点在后面的论文中被推翻了,或者说,局部推翻。

p(x,y)是联合概率密度分布函数,想想就很难计算对不对,所以我们就要找一个办法来做这个事。怎么办呢?还记得蒙特卡洛么!这里有那么一点思想是这样的。

我们把两个 随机变量化成散点图,然后不断的用小方格子去分割。然后计算每个方格子里面的落入概率。在某种意义上,就可以估计出联合概率密度分布了。当然,只有在数据量是无穷的情况下我们才可以认为是真的就相等了。所以,导致随后是数据量越大,MIC越好。看看第一篇nature文章的名字就知道了,Large Data Sets哦!所以如果只有几百条数据,关网页洗洗睡吧。

最后,MIC就是这么计算的。

分母下面是什么意思呢?我们之前不是对散点图残忍的分割了好多块嘛,在X方向和Y方向上就有很多段了。所以|X|就是X方向共被分成了多少段的意思。Y方向也一样。

前面还有一个限制条件,就是|X||Y|<B,也就是说,所有的方格格总数不能大于B。B又是一个什么鬼呢?很遗憾,作者说,B取数据总量的0.6或者0.55次方。

为什么?

作者表示他不想告诉你。这也没有从数学上推导出来,应该是个经验值了。

说完了,那我们来用一下吧。

装好MIC的python包,然后就可以开心的用了,不过,要注意只支持32bit的python。是不是有点蛋疼呢?所以我不能用我的Anaconda Platform了,有点小小的蛋疼呢。

好了,装python之前要好多依赖包哦,import一下,缺什么装什么吧。

import numpy as np
from minepy import MINE

def print_stats(mine):
    print "MIC", mine.mic()


x = np.linspace(0, 1, 1000)
y = np.sin(10 * np.pi * x) + x
mine = MINE(alpha=0.6, c=15)
mine.compute_score(x, y)

print "Without noise:"
print_stats(mine)
print

np.random.seed(0)
y +=np.random.uniform(-1, 1, x.shape[0]) # add some noise
mine.compute_score(x, y)

print "With noise:"
print_stats(mine)

挺简单的一个例子,分别是没有噪音的正弦和有噪音的正弦。

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from minepy import MINE


def mysubplot(x, y, numRows, numCols, plotNum,
              xlim=(-4, 4), ylim=(-4, 4)):

    r = np.around(np.corrcoef(x, y)[0, 1], 1)
    mine = MINE(alpha=0.6, c=15)
    mine.compute_score(x, y)
    mic = np.around(mine.mic(), 1)
    ax = plt.subplot(numRows, numCols, plotNum,
                     xlim=xlim, ylim=ylim)
    ax.set_title('Pearson r=%.1f\nMIC=%.1f' % (r, mic),fontsize=10)
    ax.set_frame_on(False)
    ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
    ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
    ax.plot(x, y, ',')
    ax.set_xticks([])
    ax.set_yticks([])
    return ax

def rotation(xy, t):
    return np.dot(xy, [[np.cos(t), -np.sin(t)],
                       [np.sin(t), np.cos(t)]])

def mvnormal(n=1000):
    cors = [1.0, 0.8, 0.4, 0.0, -0.4, -0.8, -1.0]
    for i, cor in enumerate(cors):
        cov = [[1, cor],[cor, 1]]
        xy = np.random.multivariate_normal([0, 0], cov, n)
        mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, i+1)

def rotnormal(n=1000):
    ts = [0, np.pi/12, np.pi/6, np.pi/4, np.pi/2-np.pi/6,
          np.pi/2-np.pi/12, np.pi/2]
    cov = [[1, 1],[1, 1]]
    xy = np.random.multivariate_normal([0, 0], cov, n)
    for i, t in enumerate(ts):
        xy_r = rotation(xy, t)
        mysubplot(xy_r[:, 0], xy_r[:, 1], 3, 7, i+8)

def others(n=1000):
    x = np.random.uniform(-1, 1, n)
    y = 4*(x**2-0.5)**2 + np.random.uniform(-1, 1, n)/3
    mysubplot(x, y, 3, 7, 15, (-1, 1), (-1/3, 1+1/3))
    
    y = np.random.uniform(-1, 1, n)
    xy = np.concatenate((x.reshape(-1, 1), y.reshape(-1, 1)), axis=1)
    xy = rotation(xy, -np.pi/8)
    lim = np.sqrt(2+np.sqrt(2)) / np.sqrt(2)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 16, (-lim, lim), (-lim, lim))

    xy = rotation(xy, -np.pi/8)
    lim = np.sqrt(2)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 17, (-lim, lim), (-lim, lim))
    
    y = 2*x**2 + np.random.uniform(-1, 1, n)
    mysubplot(x, y, 3, 7, 18, (-1, 1), (-1, 3))
    
    y = (x**2 + np.random.uniform(0, 0.5, n)) * \
        np.array([-1, 1])[np.random.random_integers(0, 1, size=n)]
    mysubplot(x, y, 3, 7, 19, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))

    y = np.cos(x * np.pi) + np.random.uniform(0, 1/8, n)
    x = np.sin(x * np.pi) + np.random.uniform(0, 1/8, n)
    mysubplot(x, y, 3, 7, 20, (-1.5, 1.5), (-1.5, 1.5))

    xy1 = np.random.multivariate_normal([3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy2 = np.random.multivariate_normal([-3, 3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy3 = np.random.multivariate_normal([-3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy4 = np.random.multivariate_normal([3, -3], [[1, 0], [0, 1]], int(n/4))
    xy = np.concatenate((xy1, xy2, xy3, xy4), axis=0)
    mysubplot(xy[:, 0], xy[:, 1], 3, 7, 21, (-7, 7), (-7, 7))

plt.figure(facecolor='white')
mvnormal(n=800)
rotnormal(n=200)
others(n=800)
plt.tight_layout()
plt.show()

最后的效果就是这样的。很明显可以看到,左下角那个有点像三角函数的关系,Pearson系数(就是线性相关系数)为0,而MIC则有0.8。

MIC的资料:

[1]Detecting novel associationsin large data sets

[2]Equitability Analysis of theMaximal Information Coefficient, with Comparisons [3]Equitability, mutual information, and themaximal information coefficient

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