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BZOJ3675: [Apio2014]序列分割(斜率优化)

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里,小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列,小H需要重复k次以下的步骤:

1.小H首先选择一个长度超过1的序列(一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列);

2.选择一个位置,并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后,小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式,使得k轮之后,小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n,k(k+1≤n)。

第二行包含n个非负整数a1,a2,...,an(0≤ai≤10^4),表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数,为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3 4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】  在样例中,小H可以通过如下3轮操作得到108分:  1.-开始小H有一个序列(4,1,3,4,0,2,3)。小H选择在第1个数之后的位置  将序列分成两部分,并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。  2.这一轮开始时小H有两个序列:(4),(1,3,4,0,2,3)。小H选择在第3个数  字之后的位置将第二个序列分成两部分,并得到(1+3)×(4+0+2+  3)=36分。  3.这一轮开始时小H有三个序列:(4),(1,3),(4,0,2,3)。小H选择在第5个  数字之后的位置将第三个序列分成两部分,并得到(4+0)×(2+3)=  20分。  经过上述三轮操作,小H将会得到四个子序列:(4),(1,3),(4,0),(2,3)并总共得到52+36+20=108分。  【数据规模与评分】  :数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1,200)。

Source

这题,,做的我,,想骂人

只要你能看出,最终答案与分割顺序无关

然后剩下的就是卡时间卡空间卡精度了******

按照上面说的,首先列出裸的dp方程

$f[i][j]$表示前$i$个分了$j$段,转移的时候枚举从哪里分开

时间复杂度:$O(N^2k)$

考虑优化,设$j>k$且$j$比$k$优

最后可以画为

$$S_{i} >\dfrac {S^{2}_{j}-f_{j}-\left( S^{2}_{x}-f_{k}\right) }{S_{i}-S_{k}}$$

按照套路,发现能斜率优化,然后上模板就行了,单调队列可以滚动掉

这题是我为数不多会做但是不会写代码的题

到最后还没在UOJ上卡过去

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#define LL long long 
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
const int MAXN = 100001;
const LL INF = 1e18 + 10;
using namespace std;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, K;
LL a[MAXN], sum[MAXN];
LL f[MAXN][2];
int pre[MAXN][201], q[MAXN], h, t, now = 0;
LL X(int x) {
    return sum[x];
}
LL Y(int x) {
    return sum[x] * sum[x] - f[x][now ^ 1];
}
double slope(int x, int y) {
    //printf("%d %d\n", x, y);
    if(X(y) == X(x)) return -INF;
    return (double)(Y(y) - Y(x)) / (X(y) - X(x));
}
main() {
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in", "r", stdin);  
    #endif
    N = read(); K = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = read(), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    
    for(int j = 1; j <= K; j++) {
        h = t = 0; now ^= 1;
        for(int i = 1; i <= N; i++) {    
            while(h < t && slope(q[h], q[h + 1]) <= (double)sum[i]) h++;
            int k = q[h];
            f[i][now] = f[k][now ^ 1] + (sum[i] - sum[k]) * sum[k];
            pre[i][j] = k;
            while(h < t && (slope(q[t - 1], q[t]) >= slope(q[t], i))) --t;
            q[++t] = i;
        }
    } 
    printf("%lld\n", f[N][now]); 
}

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