拉格朗日插值学习小结
简介
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。
拉格朗日插值法
众所周知，(n + 1)个(x)坐标不同的点可以确定唯一的最高为(n)次的多项式。在算法竞赛中，我们常常会碰到一类题目，题目中直接或间接的给出了(n+1)个点，让我们求由这些点构成的多项式在某一位置的取值
一个最显然的思路就是直接高斯消元求出多项式的系数，但是这样做复杂度巨大((n^3))且根据算法实现不同往往会存在精度问题
而拉格朗日插值法可以在(n^2)的复杂度内完美解决上述问题
假设该多项式为(f(x)), 第(i)个点的坐标为((x_i, y_i))，我们需要找到该多项式在(k)点的取值
根据拉格朗日插值法
[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - xj}{xi - xj}]
乍一看可能不是很好理解，我们来举个例子理解一下
假设给出的三个点为((1, 3)(2, 7)(3, 13))
直接把(f(k)展开)
(f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)})
观察不难得到，如果我们把(x_i)带入的话，除第(i)项外的每一项的分子中都会有(x_i - x_i)，这样其他的所有项就都被消去了
因此拉格朗日插值法的正确性是可以保证的
下面说一下拉格朗日插值法的拓展
在(x)取值连续时的做法
在绝大多数题目中我们需要用到的(x_i)的取值都是连续的，这样的话我们可以把上面的算法优化到(O(n))复杂度
首先把(x_i)换成(i)，新的式子为
(f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j})
考虑如何快速计算(\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j})
对于分子来说，我们维护出关于(k)的前缀积和后缀积，也就是
[pre_i = \prod_{j = 0}^{i} k - j]
[suf_i = \prod_{j = i}^n k - j]
对于分母来说，观察发现这其实就是阶乘的形式，我们用(faci)来表示(i!)
那么式子就变成了
[f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{faci * facN - i}]
注意:分母可能会出现符号问题，也就是说，当(N - i)为奇数时，分母应该取负号
重心拉格朗日插值法
再来看一下前面的式子
[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - xj}{xi - xj}]
设(g = \prod_{i=1}^n k - xi)
[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \prod_{i \not = j} \frac{y_i}{(k - xi)(xi - xj)} ]
设(t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j})
[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \frac{t_i}{(k - xi)} ]
这样每次新加入一个点的时候只需要计算它的(t_i)即可
应用
经典应用
首先讲一个经典应用：计算(\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6))
老祖宗告诉我们，这个东西是个以(n)为自变量的(k + 1)次多项式，具体证明可以看第二份参考资料
然后直接带入(k+1)个点后用拉格朗日插值算即可，复杂度(O(k))
那具体在题目中怎么使用拉格朗日插值呢？
首先你要证明求的东西是某个多项式，判断的依据是：
大部分情况下归纳一下就可以了
题目
由易到难排列