OpenGL矩阵变换的数学推导

说起OpenGL的矩阵变换,我是之前在我们的项目天天P图、布丁相机中开发3D效果时才比较深入地研究了其中的原理,当时一开始时,也只是知道怎么去用这些矩阵,却不知道这些矩阵是怎么得来的,当出现一些莫名其妙的问题时,如果不了解其中的原理,就不知道如何解决,于是想彻底搞懂其中的原理,还好自己对数学挺有兴趣,于是从头到尾把推导过程研究了一遍,总算掌握了其中的奥秘,不得不佩服OpengGL的设计者,其中的数学变换过程令人陶醉,下面我们一起来看看。 这些矩阵当中最重要的就是模型矩阵(Model Matrix)、视图矩阵(View Matrix)、投影矩阵(Projection Matrix),本文也只分析这3个矩阵的数学推导过程。这三个矩阵的计算OpenGL的API都为我们封装好了,我们在实际开发时,只需要给API传对应的参数就能得到这些矩阵,下面带大家来看看究竟是怎样计算得到的。

什么是OpenGL的矩阵变换

我们先来看一张经典图:

这张图相信很多同学在学习OpenGL的过程中都看到过,它比较直观地展示了OpenGL矩阵变换的过程,下面我详解一下其中的含义:

  • 首先OpenGL有个世界坐标系,我们渲染的物体就是在世界坐标系中,我们的模型需要放到世界坐标系中,那么当我们还没放的时候,模型就和世界坐标系没有联系,它就还处于自己的坐标系中,我们叫做模型坐标系、局部空间、局部坐标系,也就是图中的LOCAL SPACE。
  • 当我们把模型放到世界坐标系中,模型就在世界坐标系里有了坐标,也就是原来在LOCAL SPACE中的那些坐标值,变成了世界坐标系中的坐标值,帮助我们完成这个变换的就是模型矩阵,对应图中的MODEL MATRIX,于是这样我们就把模型放到了世界坐标系WORLD SPACE中
  • 放到世界坐标系后,是不是就确定了我们渲染出来看到的样子?还没有,大家可以想像一下,我把一个东西放在世界坐标系的某个地方,我可以从近处看观察它,也可以从远处观察它,还可以从上下左右观察它,甚至还可以倒着观察它,因些还需要确定我们观察它的状态。OpenGL里帮我们虚拟出了一个Camera(特别注意,这里的Camera不是指我们硬件的Camera),从API的层面上看,我们只需要设置Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量就能将观察状态定下来,而这些设置最终会转换成OpenGL中的视图矩阵,对应图中的VIEW MATRIX -经过View Matrix的变换后,我们观察它的结果就确定了,图中是从距离它一定的距离、上往下观察它,这时候的点坐标就来到了视图坐标系下,对应图中的VIEW SPACE -这时候,我们能看到什么东西,基本已经确定了,不过还有一步投影变换,这是什么东西?大家想像一下,我们看到同一个东西,是不是通常都是近大远小?那么如何实现近大远小?就要靠投影变换,OpenGL提供正交投影和透视投影,正交投影没有近大远小的效果,不管在什么距离上看,都一样大,透视投影则有近大远小的效果,也是符合我们实际生活的一种效果,透视投影应用得比较多,可看下面这张经典图:

完成投影变换就需要靠投影矩阵,即图中的PROJECTION MATRIX

  • 我看可以从图中看到经过投影变换后就到了裁剪坐标系CLIP SPACE,什么?裁剪坐标系?我们不是投影吗?裁剪了什么东西?实际上,我们的投影操作也顺带做了裁剪,所谓裁剪就是说把那些我们视野内看不到的东西去掉,什么是视野?就是我们在生成投影矩阵时会设置近平面、远平面、视角,这些东西会构成一个可见的空间,对应图2中的虚线和近平面、远平面包围起来的空间 -下一步就是上屏(如果是离屏渲染就是到一个frame buffer上),这些坐标毕竟只是OpenGL坐标系下的坐标,那么最终以什么样的大小呈现在屏幕上呢?就要通过视口变换映射到屏幕上

以上就是一个完整的矩阵变换过程,里面最重要的就是MVP三个矩阵,M即模型矩阵(Model Matrix),V即视图矩阵(View Matrix),P即投影矩阵(Projection Matrix),本文将针对这三个矩阵详解其中的数学推导,其中投影矩阵只讲解透视投影矩阵,因此它比较常用且其推导过程比正交投影矩阵复杂得多。

模型矩阵(Model Matrix)推导

相信大家在数学中都学过平移、缩放、旋转三种基本变换,将模型放到世界坐标系中就是利用这三种变换的组合来实现的,我们来看一下平移、缩放、旋转三种变换对应的矩阵:

 - 平移变换

  • 缩放变换

- 旋转变换 

1) 绕x轴旋转

2) 绕y轴旋转

3) 绕z轴旋转

大家可以看到旋转变换有三个矩阵?为什么不写成一个,注意绕轴旋转的先后顺序不同,最终的结果可能是不一样的,因此有三个独立的矩阵,根据实际情况组合。 模型矩阵相对来说简单一些,相信大家还能回忆起来之前学数学时的知识,就是通过将平移、缩放、旋转三种矩阵的组合实现将模型以某种姿态、某种大小放到世界坐标系的某个地方。

视图矩阵(View Matrix)推导

前面提到过,视图矩阵对应Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量,我们先来看一张图: 

下面我们来看看怎样通过Camera的位置、朝向的点坐标、以及Camera的上方向向量得到对应的View Matrix,首先给Camera定一个坐标系: 

NUV这三个向量是怎么来的呢?我们将Camera的坐标记为eye,朝向的点坐标记为lookat,上方向向量记为up,那么: N向量: eye - lookat U向量:up X N并归一化 V向量:N X U并归一化 我们要把Camera以某种姿态放在世界坐标系中的某个地方,这个放的过程就是对应Camera的旋转和平移,这里表示为TR,其中T表示平稳变换矩阵,R表示旋转变换矩阵。 我们虽然设置的是Camera,但最终动的是点坐标,因为Camera压根就不存在,是一个假想的东西。假设我们不动摄像机,动坐标点,那么对坐标点的变换就应该是对相机变换的逆变换R^-1T^-1(就是对TR整体求逆矩阵),注意,这里的R^-1T^-1看起来貌不惊人,实际上就是我们要求的View Matrix。 根据前面的知识,我们能很容易得到T^-1

这个直观上也好理解,比如本来是平移Tx,逆过来就是平移-Tx,依此类推。 再回顾一下我们的目标R^-1T^-1,现在还差R^-1,现在再次回到我们假想的Camera,前面说要对它做TR,当做完R后,Camera会旋转至某个姿态: 

XYZ和UVN都可以看成是一组基,根据线性代数公式可将一个点在XYZ基下的坐标转成在UVN基下的坐标,R就相当于是把基XYZ变换成UVN的变换矩阵,其中: 

假设: 

则有: 

于是: 

由于R是正交矩阵,有性质:R^-1=R^TR^T代表R的转置),为什么R是正交矩阵?Tips:方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组。 于是: 

现在我们T^-1R^-1都有了,R^-1T^-1也就是最终的View Matrix可以很容易地计算出来了,因为OpenGL中坐标是4维的,所以这里将矩阵写成4*4的: 

投影矩阵(Projection Matrix)推导

下面是投影矩阵的推导,是最为复杂的一个矩阵,前面提到,投影矩阵是由视野决定的,而视野又是由近平面、远平面和视角决定的,我们把视野在坐标系中画出来,请看下图: 

简单起见,我们不妨把Camera摆在原点,让它朝z轴负方向来讨论问题。 h表示近平面高度 w表示近平面宽度 n表示Camera到近平面的距离 f表示Camera到远平面的距离 P代表视野中的一个点 那么接下来要求的投影矩阵,就是能将P点正确地投影到近平面上,设P(x0, y0, z0),我们从y轴正向往负向看,即看xoz平面,看到的画面是这样的: 

假设投影后的x坐标为x1 ,由三角形相似原理则易得: 

同理有: 

设l和r分别为近平面左、右边框的x坐标,则有l=-w/2,r=w/2,投影归一化后坐标范围为-1~1,最左边是-1,最右边是1,l和r归一化至-1~1是线性变换,于是列一个kx+b类型的方程组并解得k和b: 

xn表示点P的x坐标投影归一化后的值,代入kx+b得: 

同理可得点P的y坐标投影归一化后的值yn: 

下面我们来构造带有未知数的投影矩阵然后求解它们,设待投影点为(x0,y0,z0,1),我们先来构造投影矩阵的第一第二行: 

这里强调一个细节,投影矩阵仅帮我们完成投影变换,不会归一化,上面的x2、y2、z2指的是投影后归一化前的值,还记得前面计算的xnyn吗?我们用一个括号把其中一个部分括了起来,外面乘了一个因子(-1/z0),后面会说这个因子是什么东西,现在只需要知道,x2、y2实际上就是前面括号里那堆东西,所以上面投影矩阵的第一行和第二行就自然能轻松地构造出来。 接下来就构造第三第四行,我们先看第四行,第四行计算的结果是投影后的第四维坐标,也就是w,前面提到了归一化,而OpenGL的归一化操作就是通过将坐标除以其对应的w值来完成的,再回头看我们前面计算的xnyn,它们是归一化后的值。 还记得括号外面乘了一个因子(-1/z0)吗?乘(-1/z0)可以看成是除以-z0,因此希望w就是-z0,于是构造第四行让w的计算结果为-z0: 

接下来就是最复杂的第三行,如何去构造第三行?第三行有4个值,现在都不知道是什么,我们需要构造4个未知数吗?对于解方程来说,在能解决问题的情况下,未知数能少就尽量少,不然只会徒增烦恼。 这里其实不需要4个未知数,为什么呢?那就要理解z2这个值是什么东西,它就是投影之后未归一化的深度值,而深度和x0、y0没有关系,这个如何理解?就是说我把一个东西放在左,上边,还是右边,不影响它的深度,要改变深度需要前后移动。 既然z2x0、y0没有关系,那么x0、y0不管是什么值,都不会影响z2的值,因此用0去乘x0、y0,即第三行的第一第二个元素是0。 再看第三行的第三第四个元素,我们假设第三个元素是0,会发生是什么?那么z2就等于B,而B最后求出来放到矩阵中肯定是一个定值,这就意味着z2也是定值,于是z2就无法表示不同的点的不同深度,这不是我们想要的结果,因此第三个元素不能是0,是一个待求的未知数。同理,我们假设第四个元素是0会发生什么?这样投影矩阵第四列全是0,根据线性代数的知识,这个矩阵行列式等0,它必定不可逆,而我们希望投影矩阵是可逆的,这样我们可以对坐标做一些逆变换来实现一些特殊的功能,因此第四个元素也不能是0,于是设它为一个未知数。 这样,我们就构造出了一个包含未知数A和B的投影矩阵: 

下面就是求解A和B: 我们将z0-f-n代进去,-f就是远平面,-n就是近平面,求归一化后的坐标,-f最远,深度最深,归一化后是1,反之,-n代进去后是-1,注意,深度是值越大越深,于是有: 

可解得: 

于是投影矩阵为: 

总结

至此,我们就完成了模型矩阵(Model Matrix)、视图矩阵(View Matrix)和投影矩阵(Projection Matrix)的数学推导,可以看到里面的变换还是很精彩的,原来神秘的矩阵变换过程已经清晰可见,希望能对大家有帮助!谢谢!

参考:

https://blog.csdn.net/qq_18229381/article/details/77941325

http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html

https://www.cnblogs.com/pengkunfan/p/3790199.html

https://learnopengl-cn.github.io/

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本文分享自微信公众号 - 腾讯Bugly(weixinBugly)

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原始发表时间:2019-01-03

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