在前面的博文中,如“简单易学的机器学习算法——Logistic回归”中,采用了极大似然函数对其模型中的参数进行估计,简单来讲即对于一系列样本
,Logistic回归问题属于监督型学习问题,样本中含有训练的特征
以及标签
,在Logistic回归的参数求解中,通过构造样本属于类别
和类别
的概率:
这样便能得到Logistic回归的属于不同类别的概率函数:
此时,使用极大似然估计便能够估计出模型中的参数。但是,如果此时的标签
是未知的,称为隐变量,如无监督的学习问题,典型的如K-Means聚类算法,此时不能直接通过极大似然估计估计出模型中的参数。
在上述存在隐变量的问题中,不能直接通过极大似然估计求出模型中的参数,EM算法是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。EM算法是期望极大(Expectation Maximization)算法的简称,EM算法是一种迭代型的算法,在每一次的迭代过程中,主要分为两步:即求期望(Expectation)步骤和最大化(Maximization)步骤。
设
是定义在实数域上的函数,如果对于任意的实数
,都有
那么
是凸函数。若
不是单个实数,而是由实数组成的向量,此时,如果函数
的Hesse矩阵
是半正定的,即
那么
是凸函数。特别地,如果
或者
,那么称
为严格凸函数。
如果函数
是凸函数,
是随机变量,那么
特别地,如果函数
是严格凸函数,那么
当且仅当
即随机变量
是常量。
(图片来自参考文章1)
注:若函数
是凹函数,上述的符号相反。
设离散型随机变量
的概率分布为:
其中,
,如果
绝对收敛,则称
为
的数学期望,记为
,即:
若连续型随机变量
的概率密度函数为
,则数学期望为:
设
是随机变量
的函数,即
,若
是离散型随机变量,概率分布为:
则:
若
是连续型随机变量,概率密度函数为
,则
假设
表示观测变量,
表示潜变量,则此时
即为完全数据,
的似然函数为
,其中,
为需要估计的参数,那么对于完全数据,
的似然函数为
。
构建好似然函数,对于给定的观测数据,为了估计参数
,我们可以使用极大似然估计的方法对其进行估计。因为变量
是未知的,我们只能对
的似然函数为
进行极大似然估计,即需要极大化:
上述式子中无法直接对
求极大值,因为在函数中存在隐变量
,即未知变量。若此时,我们能够确定隐变量
的值,便能够求出
的极大值,可以用过不断的修改隐变量
的值,得到新的
的极大值。这便是EM算法的思路。通过迭代的方式求出参数
。
首先我们需要对参数
赋初值,进行迭代运算,假设第
次迭代后参数
的值为
,此时的log似然函数为
,即:
在上式中,第二行到第三行使用到了Jensen不等式,由于log函数是凹函数,由Jensen不等式得到:
而
表示的是
的期望,其中,
表示的是隐变量
满足的某种分布。这样,上式
的值取决于
和
的概率。在迭代的过程中,调整这两个概率,使得下界不断的上升,这样就能求得
的极大值。注意,当等式成立时,说明此时已经等价于
。由Jensen不等式可知,等式成立的条件是随机变量是常数,即:
已知:
所以:
则:
至此,我们得出了隐变量
满足的分布的形式
。这就是EM算法中的E步。在确定了
后,调整参数
使得
取得极大,这便是M步。EM算法的步骤为:
,开始迭代;
为第
次迭代参数
的估计值,则在第
次迭代中,计算
:
极大化的
,确定第
次的参数的估计值
:
迭代的过程能否保证最后找到的就是最大的似然函数值呢?即需要证明在整个迭代的过程中,极大似然估计是单调增加的。假定
和
是EM算法的第
次和第
次迭代后的结果,选定
,进行迭代:
固定
,将
看成变量:
上式中,第一个大于等于是因为:
假设有有一批数据
分别是由两个正态分布:
产生,其中,
和
未知,
。但是不知道具体的
是第产生,即可以使用
和
表示。这是一个典型的涉及到隐藏变量的例子,隐藏变量为
和
。可以使用EM算法对参数进行估计。
和
;
,即求数据
是由第
个分布产生的概率:
,即计算最大的期望值。然而我们要求的参数是均值,可以通过如下的方式估计:
Python代码
#coding:UTF-8
'''
Created on 2015年6月7日
@author: zhaozhiyong
'''
from __future__ import division
from numpy import *
import math as mt
#首先生成一些用于测试的样本
#指定两个高斯分布的参数,这两个高斯分布的方差相同
sigma = 6
miu_1 = 40
miu_2 = 20
#随机均匀选择两个高斯分布,用于生成样本值
N = 1000
X = zeros((1, N))
for i in xrange(N):
if random.random() > 0.5:#使用的是numpy模块中的random
X[0, i] = random.randn() * sigma + miu_1
else:
X[0, i] = random.randn() * sigma + miu_2
#上述步骤已经生成样本
#对生成的样本,使用EM算法计算其均值miu
#取miu的初始值
k = 2
miu = random.random((1, k))
#miu = mat([40.0, 20.0])
Expectations = zeros((N, k))
for step in xrange(1000):#设置迭代次数
#步骤1,计算期望
for i in xrange(N):
#计算分母
denominator = 0
for j in xrange(k):
denominator = denominator + mt.exp(-1 / (2 * sigma ** 2) * (X[0, i] - miu[0, j]) ** 2)
#计算分子
for j in xrange(k):
numerator = mt.exp(-1 / (2 * sigma ** 2) * (X[0, i] - miu[0, j]) ** 2)
Expectations[i, j] = numerator / denominator
#步骤2,求期望的最大
#oldMiu = miu
oldMiu = zeros((1, k))
for j in xrange(k):
oldMiu[0, j] = miu[0, j]
numerator = 0
denominator = 0
for i in xrange(N):
numerator = numerator + Expectations[i, j] * X[0, i]
denominator = denominator + Expectations[i, j]
miu[0, j] = numerator / denominator
#判断是否满足要求
epsilon = 0.0001
if sum(abs(miu - oldMiu)) < epsilon:
break
print step
print miu
print miu
最终结果
[ 40.49487592 19.96497512]
参考文章:
1、(EM算法)The EM Algorithm (http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006936.html)
2、数学期望(http://wenku.baidu.com/view/915a9c1ec5da50e2524d7f08.html?re=view)