谱聚类

广义上来说，任何在算法中用到SVD/特征值分解的，都叫Spectral Algorithm。顺便说一下，对于任意矩阵只存在奇异值分解，不存在特征值分解。对于正定的对称矩阵，奇异值就是特征值，奇异向量就是特征向量。

传统的聚类算法，如K-Means、EM算法都是建立在凸球形样本空间上，当样本空间不为凸时，算法会陷入局部最优，最终结果受初始参数的选择影响比较大。而谱聚类可以在任意形状的样本空间上聚类，且收敛于全局最优解。

谱聚类和CHAMELEON聚类很像，都是把样本点的相似度放到一个带权无向图中，采用“图划分”的方法进行聚类。只是谱聚类算法在进行图划分的时候发现计算量很大，转而求特征值去了，而且最后还在几个小特征向量组成的矩阵上进行了K-Means聚类。

Simply speaking，谱聚类算法分为3步：

1. 构造一个N×N的权值矩阵W，Wij表示样本i和样本j的相似度，显然W是个对称矩阵。相似度的计算方法很多了，你可以用欧拉距离、街区距离、向量夹角、皮尔森相关系数等。并不是任意两个点间的相似度都要表示在图上，我们希望的权值图是比较稀疏的，有2种方法：权值小于阈值的认为是0；K最邻近方法，即每个点只和跟它最近的k个点连起来，CHAMELEON算法的第1阶段就是这么干的。再构造一个对角矩阵D，Dii为W第i列元素之和。最后构造矩阵L=D-W。可以证明L是个半正定和对称矩阵。
2. 求L的前K小特征值对应的特征向量（这要用到奇异值分解了）。把K个特征向量放在一起构造一个N×K的矩阵M。
3. 把M的每一行当成一个新的样本点，对这N个新的样本点进行K-Means聚类。

原文来自:博客园（华夏35度）http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:Orisun