拉普拉斯矩阵及谱聚类

拉普拉斯矩阵及谱聚类(Laplacian Matrix and Spectral Clustering)

与相似性度量相关的论文中经常出现拉普拉斯矩阵(Laplacian Matrix)，根据维基百科的描述，该矩阵在图论中运用较多。本文主要介绍在谱聚类中的应用。首先给出一个谱聚类的直观结果，然后介绍Laplacian Matrix的一些性质，最后讨论谱聚类。

通过模拟生成一系列的数据分别用k-means和谱聚类的方法进行聚类，结果如下：

通过结果便可以直观的看出两种聚类的差异了。对于都聚成3类的情况，k-means是随机的选择3个聚类中心，然后将其他的样本点归到离自己最近的中心，对分好的3类求出均值作为新的聚类中心，如此迭代，直至聚类中心收敛。而谱聚类首先求出相似度矩阵W，可以选择高斯相似度函数：

。然后计算出Laplacian matrix L (L = D - W, 其中D是degree matrix，是一个对角阵，每一个值对应相似度矩阵W中每一行的和)。计算L的前k个最小的特征向量，把这k个列向量排列在一起组成一个n*k的矩阵，其中每一行看作k维空间中的一个向量，并使用k-means算法进行聚类，其原理文章后面会进行推导。

通过不同的聚类方法可以得到不同的结果，评价聚类结果需要根据现实场景。比如上图像是两个pizza，每一圈代表不同的馅料，最里面是一圈海鲜，中间是烤肉，最外一圈是芝士。要将其分给3个人，如果这3个人都想尝尝不同的味道，那么可以按k-means分，如果一个只喜欢吃芝士，一个只喜欢烤肉，一个只喜欢海鲜，那么当然spectral cluster靠谱。多一种聚类方式多适应一种场景。

1. Unnormalized Laplacian Matrix

首先介绍没有正则化的拉普拉斯矩阵的性质。拉普拉斯矩阵L定义为：

L有如下一些性质：

• 对于任意的n维向量f，有

• L是对称，并且是半正定的。该性质可以由f'Lf>=0得到。
• L的最小的特征值为0，对应的特征向量是常数且不为零的值都相等。如果是由一个连通的图得到的相似矩阵，则对应的特征向量所有值为1.

举个例子：如下两幅图，图中连接的边的权重都为1。由此可以得到图1和图2的拉普拉斯的矩阵L1和L2。

求得L1的特征值为0, 1, 1, 4，0特征值对应的特征向量为(-0.5 -0.5 -0.5 -0.5)L2的特征值为0, 0, 1, 1, 2, 4，0特征值对应的特征向量为(-0.5 -0.5 -0.5 -0.5 0 0)和(0 0 0 0 -0.707 -0.707)。验证了前面第三条性质。对于一个有n个连通分部的图而言，其对应的拉普拉斯矩阵有n个为零的特征值。

Unnormalized Laplacian Matrix和Unnormalized Laplacian Matrix的区别只在于对矩阵L的是否进行了规范化，规范化的方式有以下两种，对应的谱聚类方式也分为Unnormalized Spectral Clustering和Normalized Spectral Clustering。

2. Spectral Clustering

Unnormalized Spectral Clustering的聚类算法描述如下，Matlab代码在最后给出。

• 求出输入样本的相似度矩阵，可以用knn，也可以利用整个数据集。使用knn可以降低相似度的计算量。
• 计算拉普拉斯矩阵，可以按需要进行规范化。
• 求拉普拉斯矩阵的最小的k个特征值及相应的特征向量。
• 把这k个列向量排列在一起组成一个n*k的矩阵，其中每一行看作k维空间中的一个向量，并使用k-means算法进行聚类。

下面是一个比较有趣的实验，图片来自论文A Tutorial on Spectral Clustering [PDF]。实验生成了200个样本点，来自于4个混合高斯分布，其均值分别是2、4、6、8。这里解释最复杂的最后一行。

最后一行中，采用了full graph计算相似度，所以样本点整体形成了一个网络，因此对应的拉普拉斯矩阵中含有一个为0的特征值，且该特征值对应的Eigenvector 1为常向量，向量中的各元素都相等。我们选择最小的4个特征值进行聚类，从图中可以看到，除第一个特征值外，其余Eigenvector 2-4 包含了聚类信息。以0作为阈值，Eigenvector 2可以将2、4和6、8分开；Eigenvector 3可以将2、8和4、6分开；Eigenvector 4可以将2、6和4、8分开。至此，样本可以被完美的分为4类，分别是2、4、6、8各一类。

谱聚类的原理可以通过Graph Cut、Random Walks以及Perturbation Theory来解释。以后的博文中会做相应的补充。

3. 谱聚类的Matlab实现

谱聚类的Matlab实现比较简单，下面给出的代码中求相似度矩阵部分对for循环进行了向量化（提高了运行效率但是比较难看懂）。通过运行该代码便可以得到本文开头的图片。

function spectral_cluster() %% Generate sample data points_per_cluster = 500; num_cluster = 3; bandwidth = 0.1; data = zeros([num_cluster*points_per_cluster, 2]); index = 1; for k = 1 : num_cluster for n = 1 : points_per_cluster theta = 2 * pi * rand; rho = k + randn(1) * bandwidth; [x, y] = pol2cart(theta, rho); data(index,:) = [x, y]; index = index + 1; end end %% Kmeans mincenter = kmeans(data, num_cluster); group1 = (mincenter == 1); group2 = (mincenter == 2); group3 = (mincenter == 3); figure; hold on; plot(data(group1,1), data(group1,2), 'r.'); plot(data(group2,1), data(group2,2), 'b.'); plot(data(group3,1), data(group3,2), 'y.'); axis square; grid on; hold off; %% Spectral Clustering sigma = 0.1; s1s2 = -2 * data * (data'); ss = sum(data.^2,2); % similarity matrix (vectorlized) % s(x_i, x_j) = exp(-|x_i - x_j|^2 /(2 * sigma^2)) A = exp( -(s1s2 + repmat(ss, 1, length(ss)) + repmat(ss', length(ss), 1))/(2*sigma^2)); D = diag(sum(A')); L = D - A; [X, ~] = eigs(L, num_cluster, 'SM'); Y = X ./ repmat(sqrt(sum(X.^2, 2)), 1, num_cluster); mincenter = kmeans(Y, num_cluster); group1 = (mincenter == 1); group2 = (mincenter == 2); group3 = (mincenter == 3); figure; hold on; plot(data(group1,1), data(group1,2), 'r.'); plot(data(group2,1), data(group2,2), 'b.'); plot(data(group3,1), data(group3,2), 'y.'); axis square; grid on; hold off; end

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