命题逻辑几道题

一个疯狂的科学家有1000瓶酒，其中一瓶是有毒的。他也有数量有限的试纸，毒酒将永久改变试纸的颜色，但是只在十天后显示出来。这位科学家想在第十一天举行一个聚会，为此需要筛选出有毒的酒。他怎样使用最低数量的试纸找出那瓶毒酒？

解题思路

看到这个题目的第一眼我在想2^10=1024>1000，那答案是不是10张试纸？好吧答案确实是10，不过需要知其所以然。 我们只需要将瓶子从0编号到1000，然后将十张试纸分别代表一个十位二进制数的其中一位，每瓶酒对应一个二进制数，这个数为1的位即需要滴的试纸。 比如第290瓶酒，对应的二进制数为0100100010，那么就在第2，5，9个试纸上滴一滴该瓶酒，如果十天后试纸对应的二进制数与这相同，那么就是第290瓶酒有毒。

题目二

一个男孩和一个女孩在花园里玩耍，当他们回家的时候，父亲说：“你们中至少有一个在前额有一块泥土”，然后让孩子们回答“是”或“不是”的问题。”你知道你的额头上有泥土吗？“父亲问了两次这个问题。当孩子给出答案时，他或她看不见他/她自己的额头，但可以看到对方。假设孩子们都诚实，他们同时回答问题。第一次：两个孩子都回答“不”；到了第二次，他们都回答“是”。那么，你知道哪个孩子的前额有泥土吗？

解题思路

假如一个孩子的额头有泥土，那么第一次问问题时，额头有泥土的孩子看到另一个孩子的额头没有泥土，就应该知道，自己的额头有泥土。但是第一次问并没有人回答，这说明，两个孩子的额头都有泥土。

扩展

假如有三个孩子，父亲问了三次孩子才回答是，那么哪个孩子的前额有泥土？

题目三

在一个有100条语句的列表里的第n条语句是”这个列表中恰有n个语句为假。”从这些语句中你能得出什么结论？ 如果第n个语句是“至少有n个语句为假”。能得出什么结论？ 如果列表包含99项？

解题思路

• 第一个问题 从第1句开始，假设第一句为真，则剩余99句中只有一句为假，其他全为真，第二句与第一句矛盾，不妨设第二句为假，但是第三句又与第一句矛盾，而根据第一句所言只有第二句为假，故第一句为假。 同理，验证第二句，假设该句为真，由上部可知第一句为假，故剩下98句中只有一句为假。第三句与第二句矛盾，不妨设第三句为假，则剩下全为真。但是第四句又与第二句矛盾。故第二句为假。 以此类推，知道最后两句，第99句，即除此句其他语句均为假，符合条件。第100句，假设为真，但是该句又说全部语句都为假，由全称实例化可知，第100句也为假，矛盾。 故只有第99句为真，其余全为假。
• 第二个问题 这个问题需要倒推，假设第100句为真，则可知，第100句为假，矛盾，故第100句为假。 假设第99句为真，即至少有99句为假，则第1句到第98句均为真（因为至少有99句为真可以推出至少有n句为真，n<99）。矛盾，故第99句为假。 以此类推，51~100句均为假。假设第50句为真，那么，至少有50句为假，即51~100句为假，第1~50句为真，满足条件，故第1~50句为真，第51~100句为假。
• 第三个问题 第51~99句的分析同上。假设第50句为真，那么1~50均为真，而只剩下49句为假，不满足“至少有50句为假”，矛盾；假设第50句为假，有第51~99句这49句为假，加上第50句，已经有50句为假，“至少有50句为假”命题成立，再次矛盾。故不管第50句为真为假都矛盾，这是个悖论。