两圆相交到两球相交
首先，定义一些东西
const double PI = acos(-1.0);
typedef struct point {
double x,y;
point() {
}
point(double a, double b) {
x = a;
y = b;
}
point operator -(const point &b)const { //返回减去后的新点
return point(x - b.x, y - b.y);
}
point operator +(const point &b)const { //返回加上后的新点
return point(x + b.x, y + b.y);
}
point operator *(const double &k)const { //返回相乘后的新点
return point(x * k, y * k);
}
point operator /(const double &k)const { //返回相除后的新点
return point(x / k, y / k);
}
double operator ^(const point &b)const { //叉乘
return x*b.y - y*b.x;
}
double operator *(const point &b)const { //点乘
return x*b.x + y*b.y;
}
}point;
typedef struct circle {//圆
double r;
point centre;
}circle;
double dist(point p1, point p2) { //返回平面上两点距离
return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}
- 两圆相交 两圆关系，可以根据圆心距离和半径的关系来判断，现在只考虑相交的情况，即圆心距LLL在两圆半径之和|r1+r2||r1+r2||r_1+r_2|及两圆半径之差|r1−r2||r1−r2||r_1-r_2|之间。 如上图所示，已知r1,r2,Lr1,r2,Lr_1,r_2,L那就可以得到很多东西。 根据勾股定理，可以得到 r21−h21=l21r12−h12=l12r_1^2-h_1^2=l_1^2 r22−h21=l22r22−h12=l22r_2^2-h_1^2=l_2^2 L=l1+l2L=l1+l2L=l_1+l_2 联立推出 h1=r21−(L2+r21−r222L)2−−−−−−−−−−−−−√h1=r12−(L2+r12−r222L)2h_1=\sqrt{r_1^2-(\frac{L^2+r_1^2-r_2^2}{2L})^2} h1=r22−(L2+r22−r212L)2−−−−−−−−−−−−−√h1=r22−(L2+r22−r122L)2h_1=\sqrt{r_2^2-(\frac{L^2+r_2^2-r_1^2}{2L})^2} h1=h2h1=h2h_1=h_2
- 有了这个就可以算两圆相交的弧长了，但是需要先算出角度
用余弦公式可以算出angleaangleaangle_a和anglebanglebangle_b cos(anglea)=r21+L2−r222Lr1cos(anglea)=r12+L2−r222Lr1cos(angle_a)=\frac{r_1^2+L^2-r_2^2}{2Lr_1} cos(angleb)=r22+L2−r212Lr2cos(angleb)=r22+L2−r122Lr2cos(angle_b)=\frac{r_2^2+L^2-r_1^2}{2Lr_2} 但是实际相交的弧长所对应的圆心角是上述所求角的两倍，所以乘以2。 最后利用弧长公式即可计算两圆相交部分的弧长。 弧长=PiPiPi*对应圆心角(弧度制)
void CircleInterLen(circle a, circle b, double &la, double &lb) {
double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));
//余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));
//余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
//double rest_la = 2.0 * PI * a.r - la;//r1圆剩余部分弧长
//double rest_lb = 2.0 * PI * b.r - lb;//r2圆剩余部分弧长
}剩下部分的弧长只需要用原来的弧长相减就行。
- 再看相交部分的面积: 扇形面积公式:S=lr2S=lr2S=\frac{lr}{2}(l为弧长，r为半径)=nr22nr22\frac{nr^2}{2}(n为圆心角，弧度制) 相交部分面积包含扇形减去三角形的面积
void CircleInterArea(circle a, circle b,double &s1,double &s2) {
double d = dist(a.centre, b.centre);//圆心距
double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2
double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d));
//余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d));
//余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
double la = angle_a*a.r;//r1所对应的相交弧长
double lb = angle_b*b.r;//r2所对应的相交弧长
s1 = la*a.r / 2.0 - a.r*a.r*sin(angle_a) / 2.0; //相交部分r1圆的面积
s2 = lb*b.r / 2.0 - b.r*b.r*sin(angle_b) / 2.0; //相交部分r2圆的面积
double rest_s1 = PI*a.r*a.r - s1 - s2;//r1圆剩余部分面积，不含相交部分面积
double rest_s2 = PI*b.r*b.r - s1 - s2;//r1圆剩余部分面积，不含相交部分面积
}下面考虑两球相交：
相交部分如下:
但实际上，如果将其投影至平面，还是刚才的样子
从上可以知道，相交部分体积是两个球缺的和。 球冠面积S=2πrhS=2πrhS=2πrh 球缺的体积公式为V=πh2(r−h3)V=πh2(r−h3)V=πh^2(r-\frac{h}{3}) hhh球冠高 rrr球半径
两球心距离=LLL 半径分别为r1r2r1r2r_1 r_2 |r1−r2|<L<|r1+r2||r1−r2|<L<|r1+r2||r_1- r_2|< L< |r_1+ r_2| 两球相交的截面为平面，相交线为圆半径为r3r3r_3 截面到球心的距离分别为l1l2l1l2l_1 l_2 l1+l2=Ll1+l2=Ll_1+l_2=L LLL直线过相交圆心并垂直相交圆直径
r21=r23+l21r12=r32+l12r_1^2=r_3^2+l_1^2 r22=r23+l22r22=r32+l22r_2^2=r_3^2+l_2^2
r21−r22=l21−l22r12−r22=l12−l22r_1^2-r_2^2=l_1^2-l_2^2 r21−r22=(l1+l2)(l1−l2)r12−r22=(l1+l2)(l1−l2)r_1^2-r_2^2=(l_1+l_2)(l_1-l_2) r21−r22=(2l1−L)Lr12−r22=(2l1−L)Lr_1^2-r2^2=(2l_1-L)L l1=[(r21−r22)/L+L]/2l1=[(r12−r22)/L+L]/2l_1=[(r_1^2-r_2^2)/L+L]/2 l2=L−l1l2=L−l1l_2=L-l_1
x1=r1−l1x1=r1−l1x_1=r_1-l_1 x2=r2−l2x2=r2−l2x_2=r_2-l_2
typedef struct point {
double x,y,z;
point() {
}
point(double a, double b,double c) {
x = a;
y = b;
z = c;
}
point operator -(const point &b)const { //返回减去后的新点
return point(x - b.x, y - b.y,z-b.z);
}
point operator +(const point &b)const { //返回加上后的新点
return point(x + b.x, y + b.y,z+b.z);
}
//数乘计算
point operator *(const double &k)const { //返回相乘后的新点
return point(x * k, y * k,z*k);
}
point operator /(const double &k)const { //返回相除后的新点
return point(x / k, y / k,z/k);
}
double operator *(const point &b)const { //点乘
return x*b.x + y*b.y+z*b.z;
}
}point;
double dist(point p1, point p2) { //返回平面上两点距离
return sqrt((p1 - p2)*(p1 - p2));
}
typedef struct sphere {//球
double r;
point centre;
}sphere;
void SphereInterVS(sphere a, sphere b,double &v,double &s) {
double d = dist(a.centre, b.centre);//球心距
double t = (d*d + a.r*a.r - b.r*b.r) / (2.0 * d);//
double h = sqrt((a.r*a.r) - (t*t)) * 2;//h1=h2，球冠的高
double angle_a = 2 * acos((a.r*a.r + d*d - b.r*b.r) / (2.0 * a.r*d)); //余弦公式计算r1对应圆心角，弧度
double angle_b = 2 * acos((b.r*b.r + d*d - a.r*a.r) / (2.0 * b.r*d)); //余弦公式计算r2对应圆心角，弧度
double l1 = ((a.r*a.r - b.r*b.r) / d + d) / 2;
double l2 = d - l1;
double x1 = a.r - l1, x2 = b.r - l2;//分别为两个球缺的高度
double v1 = PI*x1*x1*(a.r - x1 / 3);//相交部分r1圆所对应的球缺部分体积
double v2 = PI*x2*x2*(b.r - x2 / 3);//相交部分r2圆所对应的球缺部分体积
v = v1 + v2;//相交部分体积
double s1 = PI*a.r*x1; //r1对应球冠表面积
double s2 = PI*a.r*x2; //r2对应球冠表面积
s = 4 * PI*(a.r*a.r + b.r*b.r) - s1 - s2;//剩余部分表面积
}