博弈论笔记--04--足球比赛与商业合作之最佳对策

Game One–点球 点球案例 在一次足球比赛罚点球时，罚球队员可以选择L,M,R三种不同射门路径；门将可以选择扑向左路或者右路（原则上讲他也可以守在右路）。

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Lesson:绝不选择在任何情况下都不是最佳反应的策略 当然这个缺少很多限制，所以结论并不准确。比如点球射门时，排除丢失的情况下，力度上升精度就会有所下降

最佳反应（经常缩写为BRBRBR）： Player(i)选的的si∗si∗si^*策略就是对于其他博弈者选择S−iS−iS-i策略的最佳反应，其条件是UiUiU_i(Si∗Si∗Si^*)–博弈者i选择策略i而非S−iS−iS-i获得的收益比选择其他策略(即Si′Si′Si')更高时，此处所有的Si′Si′Si'策略都适用于博弈者iii 或者定义为：Si∗Si∗Si^*（Player(i)的策略）等于max UiUiU_i(s-sisis_i),即别人选择S−iS−iS-i时的最大收益 博弈者i的策略，对于其他博弈者的选择，所持有的信念P的最佳反应，条件是博弈者i在坚持信念PPP的情况下选择的期望收益大于选择其他策略—EEE(uiuiu_i)(si∗si∗si^*,PPP）>=E>=E>=E(uiuiu_i)(S−iS−iS-i,ppp） 期望收益=各项收益乘以对应概率 E=E=E=XiXiX_i*PiPiP_i（i~n）

合作关系博弈：两个人要为一个合办项目进行投资，届时将利润进行均摊。 转换为: 1. 两个代理人(博弈者)投资一个公司，没人分的50%利润， 同时每个代理人将根据自己的能力(努力程度)对公司进行投资 （S[0,4]代表贡献值，可以选择0~4这个闭区间之间任意的一个实数） 2. 利润公式为=4*(s1s1s_1+s2s2s_2+b*s1s1s_1*s2s2s_2),其中b为一个相关参数，假设b=[0,1/4],并且一已知。 3. 从公式2可以看出多人合作会有协同作用，收益加成 4. U1U1U_1（S1S1S_1,S2S2S_2）=1/21/21/2(444(s1s1s_1+s2s2s_2+bbbs1s1s_1s2s2s_2))−−-s21s12s_1^2, 其中S1^2是投资成本，即为投入部分 U2U2U_2（S1S1S_1,S2S2S_2）=1/21/21/2(444(s1s1s_1+s2s2s_2+bbbs1s1s_1s2s2s_2))−−-s22s22s_2^2, 其中S1^2是投资成本，即为投入部分

对于Player2每种可能的选择S2S2S_2，如何找到Player1会做的和后最佳反应？ 由于此时的策略有无穷个，所以需要微积分。 1.求u1u1u_1的最大值，对u1求导，且ui=0,此时s1为自变量 即U1U1U_1=2*(s1s1s_1+s2s2s_2+bbbs1s1s_1s2s2s_2)−−-s21s12s_1^2=2*(1+(1+(1+bbbs2s2s_2)−)−)-222s1s1s_1=0 即一阶导数为0，解的s1=1+b∗s2s1=1+b∗s2s_1=1+b*s_2; 求二阶导数=-2<0，则可知所求为最大值.

则对s2的最佳反应为BR(s1)=1+b∗s2BR(s1)=1+b∗s2BR(s_1)=1+b*s_2; 同理可得博弈者2对s1s1s_1的最佳反应为BR(s2)=1+b∗s1BR(s2)=1+b∗s1BR(s_2)=1+b*s_1;

根据上述方程做出曲线可以得到博弈者1和博弈者2的最佳反应策略都在1~2之间，接着而删除了非最佳反应策略，重复画图（舍弃不是最佳反应的策略），最后最佳反应就会收敛于一个交集，即两者的交点,这个点叫做纳什均衡(Nash Equilibrium),简称NE,在这个点上，双方都采取最BR。

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同时满足BR(S1)BR(S1)BR(S_1)和BR(S2)BR(S2)BR(S_2),得到s1=s2=1/(1−b)s1=s2=1/(1−b)s_1=s_2= 1/(1-b)， 结论：工作量减少了，效率反而降低了 理由：对自己的额外投资，需要承担所有的边际成本，但是却只能得到一半的利益，经济学上叫做”外部性”