实验4 二维几何变换

1.实验目的:

  • 巩固对二维几何变换的认识与理解;
  • 学习OpenGL平移、旋转、缩放变换函数及其使用方法;
  • 学习基本图形变换与复合图形变换的方法;
  • 综合运用上述函数,设计复杂图形。

2.实验内容:

根据示范代码1,使用OpenGL平移、旋转、缩放变换函数来改写代码实现所要求的功能。示范代码1的代码运行结果为图1。

(1) 使用glTranslatef()函数,实现图形平移,并结合glTranslatef()函数的不同参数输入,实现x,y和z方向的平移,将测试结果存为图1-3,与对应修改的平移函数代码一起保存至word实验文档中(20分钟);

(2) 使用glRotatef()函数,实现图形旋转,并结合glRotatef()函数的不同参数输入,实现x,y和z方向的旋转,将测试结果存为图4-6,与对应修改的旋转函数代码一起保存至word实验文档中(20分钟);

(3) 使用glScalef()函数,实现图形缩放,并结合glScalef()函数的不同参数输入,实现x,y和z方向的旋转,将测试结果存为图7-9,与对应修改的缩放函数代码一起保存至word实验文档中(20分钟);

(4)示范代码2,代码运行结果为图2,请参考它绘制如图3所示的图形,将绘图结果与代码保存至word实验文档中(30分钟);

(5) 整理word实验文档,将其命名为“序号-姓名-Prj4.doc”,电子版提交至雨课堂,A4打印稿下一次课前或实验课前提交。

3.实验原理:

(1)OpenGL下的几何变换 在OpenGL的核心库中,每一种几何变换都有一个独立的函数,所有变换都在三维空间中定义。 平移矩阵构造函数为glTranslate<f,d>(tx, ty, tz),作用是把当前矩阵和一个表示移动物体的矩阵相乘。tx、ty、tz指定这个移动物体的矩阵,它们可以是任意的实数值,后缀为f(单精度浮点float)或d(双精度浮点double),对于二维应用来说,tz=0.0。 旋转矩阵构造函数为glRotate<f,d>(theta, vx, vy, vz),作用是把当前矩阵和一个表示旋转物体的矩阵相乘。theta,vx,vy,vz指定这个旋转物体的矩阵,物体将围绕(0,0,0)到(x,y,z)的直线以逆时针旋转,参数theta表示旋转的角度。向量v=(vx,vy,vz)的分量可以是任意的实数值,该向量用于定义通过坐标原点的旋转轴的方向,后缀为f(单精度浮点float)或d(双精度浮点double),对于二维旋转来说,vx=0.0,vy=0.0,vz=1.0。 缩放矩阵构造函数为glScale<f,d>(sx, sy, sz),作用是把当前矩阵和一个表示缩放物体的矩阵相乘。sx,sy,sz指定这个缩放物体的矩阵,分别表示在x,y,z方向上的缩放比例,它们可以是任意的实数值,当缩放参数为负值时,该函数为反射矩阵,缩放相对于原点进行,后缀为f(单精度浮点float)或d(双精度浮点double)。 注意这里都是说“把当前矩阵和一个表示移动<旋转, 缩放>物体的矩阵相乘”,而不是直接说“这个函数就是旋转”或者“这个函数就是移动”,这是有原因的,马上就会讲到。 假设当前矩阵为单位矩阵,然后先乘以一个表示旋转的矩阵R,再乘以一个表示移动的矩阵T,最后得到的矩阵再乘上每一个顶点的坐标矩阵v。那么,经过变换得到的顶点坐标就是((RT)v)。由于矩阵乘法满足结合率,((RT)v) = R(Tv)),换句话说,实际上是先进行移动,然后进行旋转。即:实际变换的顺序与代码中写的顺序是相反的。由于“先移动后旋转”和“先旋转后移动”得到的结果很可能不同,初学的时候需要特别注意这一点。

(2)OpenGL下的各种变换简介 我们生活在一个三维的世界,如果要观察一个物体,我们可以: ① 从不同的位置去观察它(人运动,选定某个位置去看)。(视图变换) ② 移动或者旋转它,当然了,如果它只是计算机里面的物体,我们还可以放大或缩小它(物体运动,让人看它的不同部分)。(模型变换) ③ 如果把物体画下来,我们可以选择是否需要一种“近大远小”的透视效果。另外,我们可能只希望看到物体的一部分,而不是全部(指定看的范围)。(投影变换) ④ 我们可能希望把整个看到的图形画下来,但它只占据纸张的一部分,而不是全部(指定在显示器窗口的那个位置显示)。(视口变换) 这些,都可以在OpenGL中实现。 从“相对移动”的观点来看,改变观察点的位置与方向和改变物体本身的位置与方向具有等效性。在OpenGL中,实现这两种功能甚至使用的是同样的函数。 由于模型和视图的变换都通过矩阵运算来实现,在进行变换前,应先设置当前操作的矩阵为“模型视图矩阵”。设置的方法是以GL_MODELVIEW为参数调用glMatrixMode函数,例如:

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

该语句指定一个4×4的建模矩阵作为当前矩阵。 通常,我们需要在进行变换前把当前矩阵设置为单位矩阵。把当前矩阵设置为单位矩阵的函数为:

glLoadIdentity();

我们在进行矩阵操作时,有可能需要先保存某个矩阵,过一段时间再恢复它。当我们需要保存时,调用glPushMatrix()函数,它相当于把当前矩阵压入堆栈。当需要恢复最近一次的保存时,调用glPopMatrix()函数,它相当于从堆栈栈顶弹出一个矩阵为当前矩阵。OpenGL规定堆栈至少可以容纳32个矩阵,某些OpenGL实现中,堆栈的容量实际上超过了32个。因此不必过于担心矩阵的容量问题。 通常,用这种先保存后恢复的措施,比先变换再逆变换要更方便、更快速。注意:模型视图矩阵和投影矩阵都有相应的堆栈。使用glMatrixMode来指定当前操作的究竟是模型视图矩阵还是投影矩阵。

(3) 某图形绕任意点(cx, cy)旋转 α\alphaα 角。

清屏
glMatrixMode(GL_MODELVIEW); //设置矩阵模式为模型变换模式,表示在世界坐标系下
glLoadIdentity();   //将当前矩阵设置为单位矩阵
glTranslatef(cx,cy,0);   //平移回去	
glRotatef( alpha, 0,0,1); //绕原点旋转ALPHA角度	
glTranslatef(-cx,-cy,0);  //平移回原点
drawSquare();

图形绕任意点缩放方法的代码只需把旋转函数换为缩放函数即可,不再赘述。

4.示范代码:

示范代码1

#include <GL/glut.h>
void init (void)
{
    glClearColor (1.0, 1.0, 1.0, 0.0);  
    glMatrixMode (GL_PROJECTION);  
    gluOrtho2D (-5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
    //设置显示的范围是X:-5.0~5.0, Y:-5.0~5.0
    glMatrixMode (GL_MODELVIEW);
}
void drawSquare(void)						//绘制中心在原点,边长为2的正方形
{
	glBegin (GL_POLYGON);					//顶点指定需要按逆时针方向
	   glVertex2f (-1.0f,-1.0f);			//左下点
	   glVertex2f (1.0f,-1.0f);				//右下点
	   glVertex2f (1.0f, 1.0f);				//右上点
	   glVertex2f (-1.0f,1.0f);				//左上点
	glEnd ( );
}

void myDraw (void)
{
	glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);			//清空
	glLoadIdentity();       					//将当前矩阵设为单位矩阵
	
	glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); 
	drawSquare();      						//上面红色矩形

	glFlush ( );
}

void main (int argc, char** argv)
{
  	glutInit (&argc, argv);                        
  	glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);  
  	glutInitWindowPosition (0, 0);  
  	glutInitWindowSize (600, 600);      
  	glutCreateWindow ("几何变换示例1"); 
    
  	init();                  
  	glutDisplayFunc (myDraw);
  	glutMainLoop();  
}

程序运行结果:

图1

示范代码2

#include <GL/glut.h>
void init (void)
{
    glClearColor (1.0, 1.0, 1.0, 0.0);  
    glMatrixMode (GL_PROJECTION);  
    gluOrtho2D (-5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
    //设置显示的范围是X:-5.0~5.0, Y:-5.0~5.0
    glMatrixMode (GL_MODELVIEW);
}
void drawSquare(void)						//绘制中心在原点,边长为2的正方形
{
	glBegin (GL_POLYGON);					//顶点指定需要按逆时针方向
	   glVertex2f (-1.0f,-1.0f);			//左下点
	   glVertex2f (1.0f,-1.0f);				//右下点
	   glVertex2f (1.0f, 1.0f);				//右上点
	   glVertex2f (-1.0f,1.0f);				//左上点
	glEnd ( );
}

void myDraw (void)
{
	glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);			//清空
	glLoadIdentity();       					//将当前矩阵设为单位矩阵
	
	glPushMatrix();
	glTranslatef(0.0f,2.0f,0.0f);
	glScalef(3.0,0.5,1.0); 
	glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); 
	drawSquare();      						//上面红色矩形
	glPopMatrix();

	glPushMatrix();
	
	glTranslatef(-3.0,0.0,0.0);  
	
	glPushMatrix();
	glRotatef(45.0,0.0,0.0,1.0);
	glColor3f (0.0, 1.0, 0.0);  
	drawSquare();              				//中间左菱形
	glPopMatrix();
   
   	glTranslatef(3.0,0.0,0.0); 
    
	glPushMatrix();
	glRotatef(45.0,0.0,0.0,1.0);
	glColor3f (0.0, 0.7, 0.0);  
	drawSquare();              				//中间中菱形
	glPopMatrix();

	glTranslatef(3.0,0.0,0.0); 
    
	glPushMatrix();
	glRotatef(45.0,0.0,0.0,1.0);
	glColor3f (0.0, 0.4, 0.0);  
	drawSquare();              				//中间右菱形
	glPopMatrix();
    
	glPopMatrix();

	glTranslatef(0.0,-3.0,0.0);  
	glScalef(4.0,1.5,1.0); 
	glColor3f (0.0, 0.0, 1.0);
	drawSquare();    						//下面蓝色矩形         

	glFlush ( );
}

void main (int argc, char** argv)
{
  	glutInit (&argc, argv);                        
  	glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);  
  	glutInitWindowPosition (0, 0);  
  	glutInitWindowSize (600, 600);      
  	glutCreateWindow ("几何变换示例2"); 
    
  	init();                  
  	glutDisplayFunc (myDraw);
  	glutMainLoop();  
}

程序运行结果:

图2

图3

5.实验思考

在绕任意点旋转时,若将相关代码改为如下:

清屏
glMatrixMode(GL_MODELVIEW); //设置矩阵模式为模型变换模式,表示在世界坐标系下
glLoadIdentity();   //将当前矩阵设置为单位矩阵
glTranslatef(-cx,-cy,0);   //平移回去	
glRotatef(theta,0,0,1); //绕原点旋转ALPHA角度	
glTranslatef(cx,cy,0);  //平移回原点
drawSquare();

图形将变成怎样?试解释原因。

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