单变量微分、导数与链式法则

映射是一种对应关系。

函数是一种映射，将变量间的关系形式化为数学描述。

Derivative

每个位置处的导数如下

Derivative

基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

基本初等函数通过四则运算和复合可以得到复杂函数，其中减法与加法等价，除法与乘法等价：

复合函数的求导可以理解为变化率的传递，\(y = f(u)\)，\(u=g(x)\)，\(x\)的变化引起\(u\)的变化，\(u\)的变化引起\(y\)的变化，即\(dy=\frac{dy}{du} du =\frac{dy}{du} \frac{du}{dx} dx\)，\(\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\)，此为链式法则，\(f'(x) = f'(g(x)) g'(x)\)。变化量的传递如下：

Chain Rule

Derivatives of Common Functions

参考

• http://mathworld.wolfram.com/Differential.html
• Chain rule
• 3Bulu1Brown-直观理解链式法则和乘积法则