金融工程系列学习:远期和期货定价(二)

在有了上一篇预备知识的铺垫之后,从现在开始我们正式的进入远期合约的定价

我们在之前留下了一个思考题:

假设黄金现货价格是1000美元,市场普遍认为1年以后的价格会涨到2000美元,那么一年期黄金期货的价格是1000美元还是2000美元?

答案是1000美元左右,因为按照大众的心理,远期的价格一定会涨到2000,因为市场是由发现未来价格的功能,但是发现价格,并不是发现未来的价格,而是发现当前的价格.也就是说价格一定会在现货的价格左右,这个关系非常微妙,如果你按照投机的观点来考虑,很可能会想在2000左右,就跟赌博一样,扔硬币正面给你100万,反面的话你得给我100万才公平.

如果大家未来会涨到2000, 期货的话即可以做多,也可以做空,大家既然都觉得都可以涨到2000,那么应该在2000左右比较合理,否则的话买的人有利,卖的人不就亏了.所以在投机者的立场上来说的话,显然是应该在2000左右,而我们很习惯用投机者立场去考虑这些事情,因为股票都是用来炒的,有句俗话说得好:”炒股炒成了股东”,”炒房者炒成了房东”,在国外大家都会说投资股票,在国内的话就是你炒股了吗?如果你带着投机者的立场去考虑这种事情的话,很容易就看成了2000左右,但是正确答案是1000左右,一个重要的原因就是套利,所以金融工程里很重要的一块就是所有的价格都是通过无套利定价出来的.也就是通过套利,会使得现货和期货价格在其附近.

那套利需要的假定前提很少,如果你不嫌钱多,不用冒险就可以赚钱,这种生意一定有人做,套利就是这种机会,这种机会一旦被人发现,就一定会有人做,那这样力量就会盖过投机人的力量,使得现货价格在那里,期货价格也就在这附近.

那现在我们再来思考上边那个问题,现在现货1000期货大家都觉得可以涨到2000,但是通过无套利力量现货和期货在1000左右,但是大家还是会预期会到2000左右,那么会产生什么情况,会不会处于均衡状态?

这个时候还是可以处于均衡状态,如果这个时候处于均衡状态,这个市场可以说是非常的厌恶风险,所以依然可以处于均衡,现在的预期价格很高,但是期货和现货已经很低,处于无套利状态,说明大家都非常的厌恶风险,厌恶风险的意思是说我们买期货和以后预计的价格之间的差价就是风险的报酬,而期货和现货之间的利息已经考虑进去,两者之间的差价,也是风险报酬,但这个差价比上一个差价小得多,所以说,投资期货和现货的风险实际上是差不多的,依然处于均衡.但是大家都预期是2000,期货是1000,还是说明了大家不愿意承担风险,厌恶风险. 当然在现实情况的话,如果大家这样的情况,管理还是会调整,比如现货价格高一些,但是总体上期货和现货还是在一起的.

那我们金融工程里一般是不太考虑风险报酬的,因为我们的定价是衍生品定价,衍生品定价的话很简单,你告诉我现货价格是多少,我就会告诉你期货价格是多少,他不会考虑到风险报酬,因为一旦考虑到风险报酬,就一定涉及到效应函数,效应函数是很诡异的一种东西,我们想想自己的效益来自哪里,经济学上的效应一般认为来自消费,但是在中国的效应可能会来自财富.所以不同的民族,不同的国家,效应还是蛮复杂的,效应还可能来自相对比较,自己的历史情况等等.那效用函数到底是指数函数,幂函数等等函数,都没办法来确定,不同的函数会有千差万别的效果,如果用这样的方法去定价,是会非常的麻烦,我们金融工程是不用这样的方法来定价的,这也是我觉得金融工程最大的好处,所有的定价都跟效用没关系.所以说用来计算定价的时候,最好是不要用到效用函数.所以经济学很有道理,但是经济学得到的结论却往往很难直接用,因为他是方向性的,就比如你收入提高,你的效用会提高,但是提高多少,不同的情况,状态都是完全不一样.不过还好,我们学习的是金融工程,使用的是无套利的方法,这还是一门很实用的科学.我们得到的结论,都可以通过实验来去佐证.

那现在让我们一起来学习下什么是无套利定价法?

无套利定价法思路很简单,想法也很巧妙,通过构建组合A和组合B,如果不考虑流动性问题,他们的终值相等,他们的现值也一定相等,如果流动性不一样,这就不一定了.

就跟股权分治的那个年代(05年后改革),之前的时候股票是分为个人股,国有股,法人股,个人股是可以上市流通的,法人股,国有股是不可以上市流通的,他们的流动性不一样,因此价格也差了好多,就比国有股,他是按照净资产的配比来买卖,但是个人股因为有流动性在参与,因此价格可以是国有股的几倍或者几十倍,差别还是很大的,后来股权分治改革,大股东的股份在一定情况下可以流通,但是为了防止价格冲击,同时也有规定,解禁第一年不允许售卖,第二年可以流通5%,第三年在流通5%,第四年全流通,这样的话流动性提高了.这样就可以成为股价上涨时抑制上涨的一个筹码,但是现实中都不是这样,部门逼着你全部股改,有的公司可以全流通,有的需要三年后在流通,这样就很不公平,因为流动性不一样,一年后差价和三年后的差价会很大,我们可以把不能流通的这些股票提前卖空,相当于提前卖掉. 就好比房地产,我们也是通过控制流动性,来控制房价也是这样的.

那接着上边的概念,卖出现值较高的投资组合,买入现值较低的投资组合,并持有到期末,套利者就可以赚取无风险收益,因为一正一负总会是相等.

那用这样的原理,我们来对无收益的资产进行定价,应该怎么定价?

首先无收益资产的定义如上图所示, 就跟贴现债券,到期之前没有任何现金流,那么要为这种东西定价,一定会涉及到两种组合,这样组合会有一些技巧.我一会也会提到:

第一个组合,一定是我们要定价的东西,因为我们现在要为远期合约定价,因此我们直接算的是远期合约的价值(合约没有价格),那么这样一份远期合约的价值,将来交割的时候是需要一定的现金,因此我现在先把这一部分现金准备好,也就是Ke^(-r(T-r))这些现金,到时候期末交割我们的合约会得到K这么多钱,也就是一单位的标的资产,因此另外一份组合也是需要一单位的标的资产来保障他们期末相等.(T:未来的时间,t:现在的时间)

既然这两种组合的价值最后一定相等,现在我们写下:

现在远期合约的价格 就可以确定,通过比较f的大小,来判断这一份合约的价格是赚钱还是没有赚钱,那我们现在既然已经知道了远期价值,现在令交割价f=0.远期价格就可以确定出来:

这里的计算我们需要用到连续傅里叶来去乘上去,这个过程比较复杂.或者简单的写的话我们可以写成:

在金融资产里,C一般是看做持有成本,一般只有利息,那最上边的那个复杂公式其实我们就可以看做把本金加上利息,

所以这个阶段告诉我们,只要期限知道,只要利率知道,远期价格是可以唯一确定的,所以跟预期会涨会跌是没有关系的,当然,在现实情况中,如果未来会涨,一般来说会比F略高一点,

如果觉得会跌,会稍微低一点,但是不会差太远.

那下一篇文章,我们将继续深入的了解下远期价格的定价.