BAT面试题49：推导下反向传播Backpropagation

1 统一符号表达

神经网络每个神经元的连接关系，用符合如何表达呢？ 下面定义一种表达方式，如下图所示，含有一个隐含层的神经网络，图中标出的w的含义为：第三层的第2个神经元与第二层的第4个神经元间的权重参数。

再看下，标红色箭头的神经元的偏移量 b，如图所示进行标记，第二层中第3个神经元的偏移量；标绿色箭头的神经元的输出 a 为如下图所示标记，为第三层中第一个神经元的输出。

第 L 层第 j 个神经元的输出等于，前1层即 L-1 层中所有神经元的带权的输入和，然后再映射到sigmoid激活函数中，得到如下公式所述：

一定要仔细理解这种上述公式的各个符号表达，它是理解以下对 BP 算法论述的前提。

2 BP算法推导

2.1 公式1

如下图所示，有个精灵跑到了网络中，假设位于第L层，第 j 个神经元的门口处，它引起了一点扰动，

，

z的含义是加权输入项，容易得出这个扰动项对成本函数造成的损失可以定义为：

那么，类推的，可以看出在输出层 L， 误差项的定义表达为如下，第一个公式

上式是根据链式规则可以推导得出，成本函数的改变首先是有第L层第j个神经元的输出项影响的，然后第 j 个神经元的输出又受到第 L层第 j 个神经元的干扰 z 影响，因此得到上式。这个式子的意义是定义了第 L层第 j个神经元的误差项怎么求，注意这里L可是输出层哦，那么如何求出第 L-1层中某个神经元的损失项（误差项）呢？

2.2 公式2

这就用到第二个公式，它给出了怎么由第 L层的误差推导出第L-1层的误差，先给出第二个公式：

那么，这个公式，是如何得出的呢？这里面，这个公式是相对最难想的，推导过程如下：

还是从损失项的定义入手，

由以上这几个式子，就可以得出公式2 。

2.3 公式3

那么有了以上的分析，我们便能求解处任意层的损失项了，可以得出成本函数对某层某个神经元的梯度为，这是第三个公式：

还是可以由链式规则得出吧，如下推导过程：

2.4 公式4

成本函数对权重参数的梯度为，这是第四个公式：

那么这个公式还是可以由链式规则得出，对其推导如下：

推导第三，四个公式，都用到了以下这个基本知识：

3 反向传播代码

根据这四个公式，可以得出BP算法的代码，每个步骤将公式放到上面，方便查看。

def backprop(self, x, y):

01 占位

nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]

nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]

02 前向传播求出每个神经元的输出项

activation = x

activations = [x] # 分层存储每层的输出项（对应上文中的 a）

zs = [] # 分层存储每层的 z 向量（对应上文中的 z）

for b, w in zip(self.biases, self.weights):

z = np.dot(w, activation)+b

zs.append(z)

activation = sigmoid(z)

activations.append(activation)

#activations[-1] 必须是最后一层

delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * sigmoid_prime(zs[-1])

03 求偏置量的梯度

nabla_b[-1] = delta

04 求权重参数的梯度

nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())

05 反向传播，依次更新每层的每个神经元的权重和偏移量

# L = 1 表示最后一层神经元， L = 2 倒数第二层神经元

for layer in range(2, self.num_layers):

z = zs[-layer]

sp = sigmoid_prime(z) #sigmoid函数的导数

delta = np.dot(self.weights[-layer+1].transpose(), delta) * sp

nabla_b[-layer] = delta

nabla_w[-layer] = np.dot(delta, activations[-layer-1].transpose())

return (nabla_b, nabla_w)

def cost_derivative(self, output_activations, y):

"""

"""

return (output_activations-y)