Math-Model（一）算法综述
美赛马上来了，总结一下这些年参赛的算法(我打编程位)，数学建模主要模型不单独写，参考数学模型第四版教材即可，只给出编程中一些重要的算法目录，如果有方法漏写，请评论区指出，笔者添加，谢谢QAQ
计算模型公式
类型 | 公式 | 参考链接 | 涉及题目 |
|---|---|---|---|
电磁波反射 | 菲涅尔方程 | 菲涅尔方程 | 电磁塔，远距离通信传输 |
热力学 | 热传导方程 | 热传导方程 | 隔热层设计，物件热传导，偏微分方程，有限差分法 |
雷达 | 雷达公式 | 雷达方程 | ASK,FSK,傅里叶分析 |
电磁场 | 麦克斯韦方程 | 麦克斯韦方程 | 电磁场 |
悬链线 | 悬链线方程 | 悬链线方程 | 船舶抛锚问题，力学问题 |
四元数 | 空间物体姿态问题 |
各类预测模型
预测模型名称 | 适用范围 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
灰色预测模型 | 该模型使用的不是原始数据的序列，而是生成的数据序列。核心体系是Grey Model.即对原始数据作累加生成（或其他处理生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法。 | 在处理较少的特征值数据，不需要数据的样本空间足够大，就能解决历史数据少、序列的完整性以及可靠性低的问题，能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列。 | 只适用于中短期的预测，只适合近似于指数增长的预测。 |
插值与拟合 | 适用于有物体运动轨迹图像的模型。如导弹的运动轨迹测量的建模分析。 | 分为曲面拟合和曲线拟合，拟合就是要找出一种方法（函数）使得得到的仿真曲线（曲面）最大程度的接近原来的曲线（曲线），甚至重合。这个拟合的好坏程度可以用一个指标来判断。 | |
时间序列预测法 | 根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测市场未来的发展趋势。时间序列在时间序列分析预测法处于核心位置。 | 一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。Daniel检验平稳性 自动回归AR(Auto regressive)和移动平均MA(Moving Average)预测模型。 | 当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差，时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好。 |
马尔科夫预测 | 适用于随机现象的数学模型（即在已知现情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系） | 研究一个商店的未来某一时刻的销售额，当现在时刻的累计销售额已知。 | 不适宜用于系统中长期预测 |
差分方程 | 利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。 | 适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。 | 数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。 |
微分方程模型 | 适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。 | 优点是短、中、长期的预测都适合。如传染病的预测模型、经济增长（或人口）的预测模型、Lanchester战争预测模型。 | 反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。 |
神经元网络 | 数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理，及其在预测中的应用。BP神经网络拓扑结构及其训练模式。RBF神经网络结构及其学习算法。模型案例：预测某水库的年径流量和因子特征值 | ||
RNN | 时序问题 | 梯度爆炸 | |
LSTM | 时序问题 | 数据量大 | |
GRU | 时序问题 | ||
Logistic模型 | 人口预测模型 |
数值计算方法
名称 | 解决问题类型 | 参考链接 |
|---|---|---|
SOR迭代法 | 线性方程求解 | |
牛顿迭代法 | 线性方程求解 | |
高斯迭代法 | 线性方程求解 | |
不动点迭代法 | 线性方程求解 | |
AlphaBeta剪枝算法 | 博弈树剪枝 | |
LU分解 | 线性方程简化求解 | |
SVD奇异值分解 | 线性方程求解 | |
最小二乘插值 | 数据拟合、相关度检验 | |
拉格朗日插值 | 数据拟合 | |
非线性最小二乘法 | 数据拟合 | |
三次样条插值 | 数据拟合 | |
二次插值 | 数据拟合 | |
拉普拉斯变换 | 将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数、时域分析 |
滤波器
- 限幅滤波
- 中位值滤波
- 算术平均滤波
- 递推平均滤波
- 中位值平均滤波
- 限幅平均滤波
- 一阶滞后滤波
- 加权递推平均滤波
- 消抖滤波
- 限幅消抖滤波
- 卡尔曼滤波
- 自适应滤波器
优化计算方法
名称 | 解决问题类型 | 参考链接 |
|---|---|---|
多目标优化 | 多优化目标优化、带约束优化问题、多指标优化 | |
遗传算法 | 生物种群模型、博弈问题、调度优化问题 | |
元胞自动机 | 森林火灾模型，生物生长模型 | |
退火算法 | 衰减近似最优、随机->稳定问题 | |
MinMax(最大最小值法) | 调度优化问题 | |
MinMin | 调度优化问题 | |
suffer | 调度优化问题 | |
蚁群算法 | 优化路径的概率型算法 | |
拉格朗日乘数法 | 线性高阶函数优化 | |
动态规划 | 水缸问题、丢手机问题、0-1背包、调度优化问题 | |
BFS | 广度最短路径问题 | |
DFS | 深度最短路径问题 | |
RMQ | 给定一个区间，求这个区间中的最大或最小值的问题 | |
随机梯度下降算法(SGD) | 高纬场最优解 | |
Allingham-Sandmo模型 | 竞争最优化问题、语言竞争、税收遵从成本对纳税人行为影响分析问题 | |
T检验 | 相似性检验 | |
Ica(独立成分分析) | 声波分离、独立成分提取 | |
MFCC梅尔倒谱系数 | 谱相似性分析、声纹识别 | |
A* | 网格路径规划问题 | |
PRM | 随机平面路径规划问题 | |
博弈树 | 博弈问题 | |
决策树 | 决策问题，回归权重问题 | |
随机森林 | 泰坦尼克号问题、预测问题 | |
朴素贝叶斯方法 | 预测问题 | |
马尔科夫链 | 非线性问题、超越函数问题 | |
Softmax | 分类概率分布问题 | |
sigmod | 二分类问题 | |
PCA | 主成分分析、数据降维、权重分析 | |
LR线性回归 | 线性分类问题，线性预测问题、参数权重分析 | |
协方差分析 | 基本原理是将线性回归与方差分析结合起来，调整各组平均数和 F 检验的实验误差项，检验两个或多个调整平均数有无显著差异 | |
局部加权线性回归(Locally weighted linear regression) | 解决拟合不准确问题 | |
F检验 | 用来分析用了超过一个参数的统计模型，以判断该模型中的全部或一部分参数是否适合用来估计母体 | |
可决系数R | 表示一个随机变量与多个随机变量关系的数字特征，用来反映回归模式说明因变量变化可靠程度的一个统计指标，一般用符号“R”表示，可定 义为已被模式中全部自变量说明的自变量的变差对自变量总变差的比值。 | |
AHP | 将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。 | |
NSGA(非支配排序遗传算法) | 多目标优化问题 | NSGA |
NSGAII(带精英策略的非支配排序的遗传算法) | 带权约束多目标优化问题 | NSGA-II |
Bat Algorithms （蝙蝠算法） | 多目标优化问题 | BA |
MOEAD（基于分解的多目标优化） | 多目标优化问题 | MOEAD |