线性代数--MIT18.06(十三)

13. 第一部分练习复习

13.1 复习

1. 列空间和零空间练习

1999年测验题，复习列空间和零空间

（http://open.163.com/movie/2016/4/J/I/MBKJ0DQ52_MBKJ0KNJI.html） 已知方程

的解为

问：我们可以得到关于 A 的列的哪些信息？

解答

从解的形式上可以看出 A 的 n =3 ,根据 b 的形式可以知道 A 的 m = 4 , 同时零空间只有一个基向量，因此零空间为 1 维空间，根据零空间的维数 = n - rank，可以知道秩 r = 2 。

以上是观察所得，下面开始正式求解，先求解

, 设 A 由三个列向量构成，分别表示为

,则可以得到

。现在求解

,可以得到

。 由此两个等式就可以得到

由此我们知道

两者相关，而 r =2 ,因此

需要不是 b 的倍数，即

1. 测验题目讲解

2011年秋季测验题目讲解

（http://open.163.com/movie/2016/4/3/I/MBKJ0DQ52_MBNI7H33I.html）

对于以下系数矩阵

问：

为何值时

有唯一解

• 何时有无穷解
• 写出通解形式
• 当

时，对 A 进行 LU 分解

解答

直接对增广矩阵进行消元即可

由此当

的时候该方程有唯一解，因为此时 A 满秩，因此总是存在一个解，解为

； 当

则存在无穷解。

首先求解零空间的解(参考第7讲和第8讲)，对 U 继续化简得到

可以知道秩为2，

, 因此零空间为

，令自由变量为 0 ，回代方程求解特解，

因此通解为

现在来求解

由

,我们根据上述消元过程，代入可得

参考第四讲我们可以根据消元过程的乘数，直接写出

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