线性代数--MIT18.06(十)
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- 线性代数--MIT18.06（一）：方程组的几何解释
- 线性代数--MIT18.06（二）：矩阵消元（初等变换）
- 线性代数--MIT18.06（三）：矩阵乘法和求解逆矩阵
- 线性代数--MIT18.06（四）：A的LU分解
- 线性代数--MIT18.06（五）：转置、置换和向量空间、子空间
- 线性代数--MIT18.06（六）：列空间和零空间
- 线性代数--MIT18.06（七）：求解Ax=0
- 线性代数--MIT18.06（八）：求解Ax=b
- 线性代数--MIT18.06（九）：线性相关性、基、维数
10. 4个基本子空间的定义
10.1 课程内容：4个基本子空间的定义
这是线性代数的核心！
线性代数就是研究这四个基本子空间，以及他们之间的相互关系！
4个基本子空间
此图给了我们一个全局视野，下面我们分别讲述四个基本子空间。
列空间和零空间我们已经在第六讲讲解过了，在这里我们还将讨论他们所在空间的维数，以及它们自身的维数和构成它们的基。
■ 列空间
A 的所有列向量生成的空间称为 A 的列空间，记为
. 由于 A 的每一列都是 m 维列向量，因此
A 的列空间的维数为秩 r，A 的任意 r 个线性无关的列向量都是
的一组基。
■ 零空间
的解 x 的集合称为 A 的零空间，记为
. 由于 x 是 n 维列向量，因此
. A 的零空间的维数为 n−r，也就是自由变量的个数，Ax=0 的 n−r 个特解（或称为基础解系）构成
的一组基。
零空间与列空间维数的关系(因为都与列相关)：
■ 行空间
A 的所有行向量张成的空间称为 A 的行空间，也即是
的所有列向量生成的列空间，也即是
的列空间，记为
. 由于 A 的每一行都是 n 维向量，因此
. A 的行空间的维数为 r，A 的任意 r 个线性无关的行都是
的一组基。
A 的行空间与列空间的维数相等，都等于 A 的秩，即
这是因为矩阵的行秩等于列秩。 初等行变换不改变行空间，但会改变列空间。
■ 左零空间
的零空间也称为 A 的左零空间，记为
. 为什么叫左零空间呢？对于任意的
，有
，两边取转置即得
，因此
的左零空间即为
的解
的全体，因此称为左零空间（
在左边，对比于零空间的
在右边）。 由于
中的每一个向量都是 m 维列向量，因此
.
，那么如何求
的一组基？
一种方式是将
计算之后，将其作为新的
，然后使用零空间的解法去求解得到左零空间的一组基。
另一种方式是利用我们对于
的理解。能够使得
的行向量的线性组合得到零行的
中的行即为左零空间的一组基。 （即试着寻找一个产生零行向量的行组合。）
举个例子
利用我们对于消元过程的矩阵表示我们可以知道
注意到 R 的最后一行为零，即 (-1,0,1)A=(0,0,0,0) 因此可知
，它就是左零空间的一组基
左零空间与行空间维数的关系：
10.2 4个基本子空间习题课
2011年4个基本子空间习题课（http://open.163.com/movie/2016/4/3/9/MBKJ0DQ52_MBN2TUT39.html）
矩阵 B 有如下形式，计算它的4个基本子空间的维数并给出各自的一组基。
解答
● 列空间
观察 B 我们发现，这里写成了第四讲我们提到的 LU 的形式。U 存在两个主元，因此列空间的维数为 2 ，即rank(B) =2。 由此我们知道基中向量的个数为 2 ，并且由矩阵乘法我们知道，B的列空间就是 L 中的列向量张成的（考虑矩阵右乘的定义），由此我们得到一组基。
● 零空间
零空间的维数是自由变量的数量，因此零空间的维数为 1 。基内向量的个数为 1 ，如何得到？可以参考第七讲的内容，可以用两种方法来求解，一种是将 U 化简到简化行阶梯形式 R，可以得到
另一种方式就是使得自由变量为 1 ，回代方程组求解，可以得到同样的基。
● 行空间
由秩的性质我们知道，行空间的维数和列空间的维数是一样的，为2。那么如何得到行空间的一组基呢？这里我们考虑矩阵乘法中的矩阵左乘的概念，因此行空间的一组基就是 U 的前两行构成的两个向量。
● 左零空间
由左零空间的定义我们知道，其维数就是 m - r，即为 1 。求解其一组基，我们使用左零空间的定义。对 L 求其逆，我们就可以找到其左零空间的一组基，即 U 的零行所对应的等式左侧的各个行向量，当然这里只有 1 个。
这组基即为
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