线性代数--MIT18.06(二十六)

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26. 对称矩阵及正定性

26.1 课程内容：对称矩阵及正定性

实对称矩阵（Symmetric matrices）两个主要性质（定义）:

1. 其特征值都为实数
2. 特征向量正交，或者可以通过选择正交(当特征值存在重复时，可以在一个平面中选择两个垂直的特征向量)

一个定理：

如果矩阵是对称矩阵，则它的主元符号与特征值符号相同,数目也相同

（主元有几个正数，特征值就几个为正）

■ 如何证明实对称矩阵的特征值都为实数，而不会出现复数？

我们特征值的定义等式入手

而我们直接对

左乘

即得到

因此我们就得到

并且

就是向量的长度的平方，因此它总是为正的，所有

，即

为实数。

特征值的性质我们已经知道了，由于是对称矩阵的性质，我们再看下它的特征向量，因为特征向量正交，基于十七讲的内容，我们总可以将正交向量矩阵转化为正交矩阵，因此我们就可以将对角化公式进行如下分解

对等式右边进行展开，可以得到

也就是说每个对称矩阵都是互相正交的投影矩阵的线性组合。

正定矩阵（positive definite matrices）是实对称矩阵之中的一种特殊的矩阵，它有如下性质：

• 所有的特征值为正数
• 所有的主元的符号为正
• 所有余子式中的行列式的值部分都是正的

正定矩阵的这些性质可以令我们的计算非常方便。

26.2 习题课

2011年正定矩阵的性质习题课

（http://open.163.com/movie/2016/4/T/9/MBKJ0DQ52_MBPT3IET9.html）

试证明下列陈述为真

1. 正定矩阵可逆
2. 为正定矩阵的投影矩阵只有单位阵
3. 如果对角阵

的所有元素为正，则其为正定矩阵

1. 如果对称阵

的行列式的值大于 0 ，它可能不是正定矩阵

解答

1. 正定矩阵的特征值全都大于 0 ，因此其行列式大于 0 ，故正定矩阵可逆
2. 投影矩阵的特征值为 0 或者 1，而正定矩阵需要特征值都大于 0，因此只有特征值为 1 的投影矩阵为正定矩阵，而特征值为 1 的投影矩阵只有单位阵
3. 对角阵的所有元素就是该对角阵的特征值，因为所有元素都为正，因此特征值都为正，行列式为正，故为正定矩阵
4. 对称阵的行列式值大于 0 ，但是没有满足所有特征值都大于 0 的条件，简单地取一个二阶对称阵，正对角线元素全为负数，反对角线元素为零，就得到反例，该对称阵不是正定矩阵。