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这一讲关于行列式的应用以及行列式的意义
行列式用一个数值就包含了所有信息,从行列式的值出发我们又可以发现一些新的公式,用于计算我们之前讲解过得一些可以求解但是没有公式用于求解的东西
20.1.1 行列式求解逆矩阵
求解逆矩阵,我们在第三讲介绍矩阵消元的时候,就已经讲解过,将单位阵与原矩阵一起构建起增广矩阵,然后将原矩阵的部分通过消元转化为单位阵,那么原单位阵就是我们需要的矩阵的逆,即
而实际上逆矩阵可以由行列式得到,
其中
是代数余子式矩阵,它个各个元素就是
中对应位置的元素的代数余子式。
那么为什么呢?只需要验证下式成立就可以。
我们计算等式的最后边,可以发现
上一讲我们有得到代数余子式公式,这里
对角线上的元素就是
中元素与其对应代数余子式的乘积,也就是
的行列式的值。
那么我们自然会问为什么元素与不是他所对应的代数余子式的乘积的和是 0 呢?简单来看,如果需要得到这样的乘积和的形式来表示该行列式,那么就说明了
中该列的代数余子式所原对应的原
中的行所对应的元素与现在所乘的
的行的元素应该是相等的,也就是说该行列式表示这两行相等时的行列式,根据行列式的性质,该行列式的值为 0 。
由此我们就得到了
是成立的。
在之前的章节,我们知道当
可逆时(也就是行列式不为 0 时),该式的解就是
由我们刚得到的求逆的方程,那么该解的形式就可以写成
可以发现
的每一个分量还是行列式的代数余子式公式的表示,所以还是可以将每一个分量当做是一个矩阵(暂且称为矩阵
)的行列式,那么是哪个矩阵呢?实际上
矩阵为将
的其中 1 列替换为
,其他列保持不变的矩阵。
的下标指定了替换
的那一列(当然将
替换相应的行也是一样的,因为代数余子式还是不变的,再说了,矩阵的转置的行列式的值不变)。
但是我们求解逆矩阵的时候还是使用消元的方法,为什么呢?因为该方法需要计算大量行列式,一共有
个(
个分量对应
个
, 以及
)。
我们已经知道了行列式的性质,行列式的求解公式,行列式的一些应用,那么行列式是什么呢?行列式的几何意义是 3 维时是体积, 2 维时是面积,高维时是各行向量所张成的平行多面体的体积。而行列式的符号表示的是该平行多面体的手性(因为你交换两个行向量,平行多面体的体积是不变的,但是行列式的值却要变号)
这个几何意义有什么意义呢?可以让我们方便地计算三角形,四边形和其他多边形的面积以及多面体的体积。
对于三角形而言,实际上就是该平行四边形的面积的一半,也就是说三角形的面积就是行列式的值得绝对值的一半。
对于任意三点
构成的三角形而言, 三角形的面积就是
当
时,则三角形面积为
实际上消元的过程,我们就是在将几何图形进行平移。
2011年行列式的几何意义习题课
(http://open.163.com/movie/2016/4/5/G/MBKJ0DQ52_MBORHTS5G.html)
是三维空间中的四面体,它由
张成,求解
的体积,如果将
移动到
,体积又是多少?
四面体
四面体所对应的平行六面体
解答
由题意可以得到该四面体的图形以及它所在的平行六面体的图形,对于四面体的体积我们知道是
,其中
是底面积,
是高度,根据图形我们可以知道平行六面体的体积为
,因此四面体体积就是行列式的值的绝对值的六分之一。
由此我们计算行列式, 使用代数余子式公式对第三列展开,得到
那么该四面体的体积就为 2 。
如果将
移动到
,可以发现移动之后的行列式的第三行就是原来行列式的第三行减去行列式第一行的 100 倍,从几何意义上来来说,就是
点 沿着
的方向平移到
。所以体积并不变。