线性代数--MIT18.06(十八)

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18. 行列式及其性质

18.1 课程内容：行列式及其性质

从这一讲开始，进入线性代数中另一个重点——行列式，行列式的目的在于后面章节将会讲解的特征值。

说到行列式，需要记住一个前提，那就是只有对于方阵，才有行列式。

■ 行列式的三个基本性质（这三个性质定义了行列式）

1. 单位阵的行列式为 1 ， 可以表示为

1. 交换矩阵的行，那么行列式变号。这里可以得出置换矩阵的行列式总是为 1 或者 -1 ，置换行的次数决定了行列式最终的符号。
2. 行列式的行是线性的，但是行列式不是线性的！以2阶方阵为例进行说明。

■ 由此三条基本性质，我们又可以得到如下的性质

1. 如果矩阵存在两行相同，那么行列式为 0
2. 对矩阵进行消元，行列式的值不变
3. 如果存在全为 0 的行，那么行列式为 0
4. 上三角矩阵的行列式的值为其对角线元素的乘积
5. 奇异矩阵的行列式为 0 ，可逆矩阵的行列式非 0

■ 另外还有两个非常有用的性质

。由这个性质，我们可以引申得到 可逆矩阵的逆矩阵的行列式的值为该矩阵行列式的值的倒数，即

。

1. 矩阵的行列式的值和其转置的行列式的值相等。即，

。 这个性质非常有用，它说明了我们之前所说的对于行成立的行列式的性质，对于列，同样适用！

18.2 行列式的性质习题课

2011年行列式的性质习题课

（http://open.163.com/movie/2016/4/G/M/MBKJ0DQ52_MBOK1DGGM.html）

求解下列矩阵的行列式

解答

1. 对于

来说第三行减去第二行，第二行减去第一行，于是我们得到第二行和第三行相等，因此行列式为 0

1. 对

进行消元，

1. 从矩阵乘法来看，不论是从左乘的视野，还是右乘的视野，对

消元总是会存在全 0 的行，当然从秩的角度来看，

是秩 1 矩阵，因此行列式为 0 。

1. 对

做消元，可以得到全 0 行，因此行列式为 0 。另一方面，我们可以发现

, 那么

,同时从行列式的性质上我们知道对矩阵转置，行列式不变，因此

，将矩阵的负号提出来就得到

,在这我们就得到行列式等于行列式的相反数，那么它只能为 0 。