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线性代数--MIT18.06(一)

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1.方程组的几何解释

1.1 课程内容:方程组的几何解释

前置思考:考虑 n 个未知数 n 个方程组的情形

首先考虑最简单的二元线性方程组

从行的角度来看

分别表示两条二维平面中的直线,如果这两条直线相交,那么交点的坐标

即为方程组的解。

更确切的讲:

  • 如果两条直线相交于一点,那么该方程组有且仅有一个解,即为交点的坐标;
  • 如果两条直线重合,那么说明这两条直线方程实际上是同一条直线,此时直线上的所有点的坐标均为方程组的解;
  • 如果两条直线平行但不重合,则说明不存在点的坐标同时满足这两条直线的方程,此时方程组无解。

从列的角度来看,上述二元线性方程组可以写成

此时,列向量

表示起点为

, 终点分别为

,

,

的向量,分别记为

,

,

.

那么方程的左边就表示向量

,

的线性组合,

称为线性组合的系数,因此线性方程组就可以理解为:

是否存在合适的线性组合系数

, 使得

,

的线性组合

恰好等于

类似的,将情形推广到三维,对于三元一次方程组

从行的角度来看,三个三元一次方程表示三维空间中的三个平面,如果三个平面相交于一点,那么交点的坐标即为方程组的解。

更确切的讲

  • 如果三个平面有且只有一个交点,那么此时方程组有且仅有一个解,即为交点坐标;
  • 如果三个平面相交于一条直线,那么这条直线上的所有点的坐标均为方程组的解;
  • 如果三个平面重合,那么平面上的点的坐标均为方程组的解; 如果三个平面没有公共的交点,那么方程组无解。

从列的角度来看,类似二元线性方程组的情形,同样可以从列向量线性组合的角度来理解。

继续推广,对于一般的

维线性方程组

,其中

维系数矩阵,

维列向量,

是方程组右端的

维列向量。

不妨设

个列向量,

,则方程组

可以表示为

由此可以看出,矩阵

乘以向量

相当于对

的列向量作线性组合,线性组合的系数即为向量

各行对应的分量。

因此对线性方程组

可以理解为:

是否存在合适的线性组合系数,使得

的列向量的线性组合恰好为

如果存在,线性组合的系数为多少? 这些线性组合的系数就构成了

的解向量

现在,我们还有一个问题,线性方程组

在什么情况下有解?

首先我们考虑对于任意的

维列向量

,当

变动时,

也在变动,当

取遍所有的

维列向量时,

就能取遍所有

的列向量的线性组合,也就是说,所有的

就构成了

的列向量张成的线性空间

.

因此

又由于

因此我们也就得出了

特别地,如果

个列向量线性无关,那么这

个列向量就构成了

维向量空间

的一组基。此时对于任意的

均可由

的列向量线性表出,也即是

一定有解。

换言之,如果

可逆,则

一定有解。

有了对线性方程组的这些认识,我们可以更好地理解矩阵乘法。

首先考虑列向量

右乘矩阵

先从行的角度考虑,不妨设

其中,

个行向量,

个分量。

由此可知,从行的角度来看,

相当于分别用

的行点乘

,这就是矩阵乘法的定义。

下面从列的角度考虑,这是一种非常重要的理解方式。

不妨设

其中,

个列向量。

由此即知,列向量

右乘矩阵

即是对

的列向量作线性组合,

的各分量即为线性组合的系数。

下面考虑行向量

左乘矩阵

, 其中

不妨设

由此即知,行向量

左乘矩阵

相当于对

的行向量作线性组合,

的各分量即为线性组合的系数。

综上所述,列向量

右乘矩阵

相当于对

的列向量作线性组合,

的各分量即为线性组合的系数; 行向量

左乘矩阵

相当于对

的行向量作线性组合,

的各分量即为线性组合的系数。

对于矩阵与矩阵的乘法,只需把矩阵按行或列分块,即可按上述向量乘矩阵的方式理解。

也即是,矩阵

右乘 矩阵

相当于对

的列作线性组合,

的各列的分量即为线性组合的系数;矩阵

左乘 矩阵

相当于对

的行作线性组合,

的各行的分量即为线性组合的系数。

1.2 习题课

2011年线性方程组的几何解释习题

(https://open.163.com/movie/2016/4/H/1/MBKJ0DQ52_MBKJ0MDH1.html)

思考下列方程组:

  1. 线性方程组的形式

回代到方程组可得:

  1. 行视图

行视图就是对于线性方程组的每一行的视角去理解该线性方程组,因此该方程组可以理解为 2 条直线(每一个方程组就是平面上的一条直线),所求的

也就是两条直线的交点了。

  1. 列视图

看作向量(2,1)和(1,-2)的线性组合,得到向量(3,-1),由此可以用平行四边形法则得到

的具体值。

  1. 矩阵形式

那么如何求解呢?

考虑一元方程的情况:

推广到矩阵:

因此为了解得方程组的解,实际上就转化为求方程组的系数构成的矩阵

的逆矩阵

本文分享自微信公众号 - 零维领域(lingweilingyu),作者:fireWang

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原始发表时间:2019-03-04

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