线性代数--MIT18.06(一)
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1.方程组的几何解释
1.1 课程内容：方程组的几何解释
前置思考：考虑 n 个未知数 n 个方程组的情形
首先考虑最简单的二元线性方程组
从行的角度来看，
分别表示两条二维平面中的直线，如果这两条直线相交，那么交点的坐标
即为方程组的解。
更确切的讲:
- 如果两条直线相交于一点，那么该方程组有且仅有一个解，即为交点的坐标；
- 如果两条直线重合，那么说明这两条直线方程实际上是同一条直线，此时直线上的所有点的坐标均为方程组的解；
- 如果两条直线平行但不重合，则说明不存在点的坐标同时满足这两条直线的方程，此时方程组无解。
从列的角度来看，上述二元线性方程组可以写成
此时，列向量
表示起点为
, 终点分别为
,
,
的向量，分别记为
,
,
.
那么方程的左边就表示向量
,
的线性组合，
称为线性组合的系数，因此线性方程组就可以理解为：
是否存在合适的线性组合系数
, 使得
,
的线性组合
恰好等于
。
类似的，将情形推广到三维，对于三元一次方程组
从行的角度来看，三个三元一次方程表示三维空间中的三个平面，如果三个平面相交于一点，那么交点的坐标即为方程组的解。
更确切的讲
- 如果三个平面有且只有一个交点，那么此时方程组有且仅有一个解，即为交点坐标；
- 如果三个平面相交于一条直线，那么这条直线上的所有点的坐标均为方程组的解；
- 如果三个平面重合，那么平面上的点的坐标均为方程组的解； 如果三个平面没有公共的交点，那么方程组无解。
从列的角度来看，类似二元线性方程组的情形，同样可以从列向量线性组合的角度来理解。
继续推广，对于一般的
维线性方程组
，其中
是
维系数矩阵，
是
维列向量，
是方程组右端的
维列向量。
不妨设
是
的
个列向量，
，则方程组
可以表示为
即
由此可以看出，矩阵
乘以向量
相当于对
的
的列向量作线性组合，线性组合的系数即为向量
各行对应的分量。
因此对线性方程组
可以理解为：
是否存在合适的线性组合系数，使得
的列向量的线性组合恰好为
如果存在，线性组合的系数为多少？ 这些线性组合的系数就构成了
的解向量
。
现在，我们还有一个问题，线性方程组
在什么情况下有解？
首先我们考虑对于任意的
维列向量
，当
变动时，
也在变动，当
取遍所有的
维列向量时，
就能取遍所有
的列向量的线性组合，也就是说，所有的
就构成了
的列向量张成的线性空间
.
因此
又由于
因此我们也就得出了
特别地，如果
的
个列向量线性无关，那么这
个列向量就构成了
维向量空间
的一组基。此时对于任意的
均可由
的列向量线性表出，也即是
一定有解。
换言之，如果
可逆，则
一定有解。
有了对线性方程组的这些认识，我们可以更好地理解矩阵乘法。
首先考虑列向量
右乘矩阵
先从行的角度考虑，不妨设
其中，
是
的
个行向量，
是
的
个分量。
则
由此可知，从行的角度来看，
相当于分别用
的行点乘
，这就是矩阵乘法的定义。
下面从列的角度考虑，这是一种非常重要的理解方式。
不妨设
其中，
是
的
个列向量。
则
由此即知，列向量
右乘矩阵
即是对
的列向量作线性组合，
的各分量即为线性组合的系数。
下面考虑行向量
左乘矩阵
， 其中
不妨设
则
由此即知，行向量
左乘矩阵
相当于对
的行向量作线性组合，
的各分量即为线性组合的系数。
综上所述，列向量
右乘矩阵
相当于对
的列向量作线性组合，
的各分量即为线性组合的系数； 行向量
左乘矩阵
相当于对
的行向量作线性组合，
的各分量即为线性组合的系数。
对于矩阵与矩阵的乘法，只需把矩阵按行或列分块，即可按上述向量乘矩阵的方式理解。
即
也即是，矩阵
右乘 矩阵
相当于对
的列作线性组合，
的各列的分量即为线性组合的系数；矩阵
左乘 矩阵
相当于对
的行作线性组合，
的各行的分量即为线性组合的系数。
1.2 习题课
2011年线性方程组的几何解释习题
（https://open.163.com/movie/2016/4/H/1/MBKJ0DQ52_MBKJ0MDH1.html）
思考下列方程组：
- 线性方程组的形式
回代到方程组可得：
- 行视图
行视图就是对于线性方程组的每一行的视角去理解该线性方程组，因此该方程组可以理解为 2 条直线（每一个方程组就是平面上的一条直线），所求的
也就是两条直线的交点了。
- 列视图
将
看作向量（2,1）和（1，-2）的线性组合，得到向量（3，-1），由此可以用平行四边形法则得到
的具体值。
- 矩阵形式
那么如何求解呢？
考虑一元方程的情况：
推广到矩阵：
因此为了解得方程组的解，实际上就转化为求方程组的系数构成的矩阵
的逆矩阵