线性代数--MIT18.06(三十五)

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35. 总复习及概念速查表

35.1 课程内容：复习

1、已知矩阵

，

并且

无解，

有一个解，问

（1）可以知道

的哪些信息？

（2）给出一个符合条件的

（3）判断下列陈述的正误

°

°

可逆

°

是正定矩阵

（4）

是否对于任意的

总存在至少一个解？并且总是存在无穷解？

解答

（1）首先从

我们可知

，并且存在无解的情况，说明非满秩，即

，又有只有一个解的情况则又说明列满秩，即

, 即我们最终可以知道

（2）举个

的例子，实际上可以直接取

，因为该向量已经在列空间之中，当然也可以取列空间为 2 维的情况，例如

（3）因为

列满秩，因此

满秩，也即它可逆，而对于

由于

行不满秩，因此其不满秩，那么它不可能为正定矩阵，可以为半正定矩阵。 于是我们也就知道

和

的行列式的值不可能相等，前者可逆则行列式的值大于零，而后者则为奇异矩阵，行列式的值为零

（4）对于

有

，则

行满秩而列不满秩，因此零空间中总是存在非零向量，故对于任意

总是存在无穷解。

2、矩阵

由列向量

构成，问

（1）求解

（2）如果

，解是否唯一？

（3）如果

标准正交，

的哪个线性组合最接近

？

解答

（1）根据矩阵乘法就可以得到

（2）如果

，则说明列向量线性相关，在零空间中存在无穷解。

（3）如果

标准正交，那么

在

张成的平面上的投影就是一个点，因此

3、已知如下所示马尔科夫矩阵

，

（1）求其特征值

（2）当

时，求

解答

（1）观察矩阵

可以发现前两列的和为第三列的 2 倍，即该矩阵为奇异矩阵，故有一个特征值为 0 ，并且马尔科夫矩阵存在一个特征值为 1，再由迹即为特征值的和可知，另一个特征值为 -0.2

（2）根据马尔科夫矩阵的性质，可知

只与特征值

对应的特征向量

与其系数

有关，求解

即得到特征向量

, 特征向量的各分量的和与初始值中各分量的和相等，因此

, 即最终得到

4、已知二阶方阵

,

（1）求矩阵

投影到向量

所在的直线的投影矩阵

（2）已知

的特征值和特征向量分别为

，

，求

解答

（1）求投影矩阵，直接利用公式即可

（2）由特征值和特征向量我们可知可以将

对角化，因此我们可以由对角化公式反向求解出

5、已知最小二乘有如下形式以及最佳的系数组合，问

（1）求在列空间的投影

（2）在坐标系上画出拟合直线

（3）给出一个

使得最小二乘的结果为 0

解答

（1）

在列空间的投影就是

（2）直角坐标系上的拟合直线就是

（3）如果最小二乘的结果为 0 ，则说明

与列空间正交，因此只需要取任意一个与

正交的向量即可，例如

35.2 习题课

2011年总复习课

（https://open.163.com/movie/2016/4/9/A/MBKJ0DQ52_MBR0VUD9A.html）

有矩阵

如上所示，已知

,并且对其进行消元之后的两个主元分别为

和

，求解：

1.第三个特征值

和第三个主元

2.当元素

为最小为何值时，矩阵

为半正定矩阵

3.求最小的

，使得

为半正定矩阵

4.已知初始值

如下所示，并且

, 求解

解答

1.特征值的和就等于矩阵的迹，因此可以得到

，各特征值都互不相同也不为零，因此矩阵可逆，主元乘积等于特征值的乘积等于行列式的值，于是得到

2.要使矩阵为半正定矩阵，则行列式的值为零，即矩阵为奇异矩阵，可以发现前两行行相加正好可以使其等于第三行，因此取

即可

3.已知对矩阵进行单位平移，其特征值就同样增加相同的量，于是

的特征值为

，

，

，半正定矩阵的所有特征值大于等于零，因此需要

，即

4.可知

为马尔科夫矩阵，并且特征值分别为 0.5 ，-0.5 ，1 ，当

，

将只与特征值

的特征向量

有关，即

，因此求解

，并代入初始条件

，求解得到

即可，可以得到

，

35.3 线性代数概念速查

对于矩阵

可逆

Linear Algebra in a nutshell