利用 Numpy 进行矩阵相关运算
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本文目录：
- 1. 前言
- 1.1 基本介绍
- 1.2 运行环境
- 2. 函数清单
- 3. 案例讲解
- 3.1 Numpy.linalg
- 3.2 Numpy.matlib
1.前言
1.1 基本介绍
NumPy 是Python数据分析必不可少的第三方库，NumPy 的出现一定程度上解决了Python运算性能不佳的问题，同时提供了更加精确的数据类型。如今，NumPy 被Python其它科学计算包作为基础包，已成为 Python 数据分析的基础，可以说 NumPy 就是SciPy、Pandas等数据处理或科学计算库最基本的函数功能库。
数据挖掘的理论背后，几乎离不开线性代数的计算，如矩阵乘法、矩阵分解、行列式求解等。本文将介绍 NumPy（目前最新版本为 1.16） 中与线性代数相关的模块的使用方法，包括 numpy.linalg , numpy.matlib 。
Numpy : https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.html
numpy.linalg : https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.linalg.html
numpy.matlib : https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.matlib.html
numpy.dual : https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.dual.html
numpy.fft : https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.fft.html
（numpy.dual主要是利用scipy加速运算，用法与linalg和matlib中方法类似，这里不再多做介绍，numpy.fft涉及应用层面，限于篇幅，暂时不做扩展）
1.2 运行环境
- 操作系统： win10
- python版本：3.7.0
- IPython版本：6.5.0
- numpy版本 ：1.15.1
2.函数清单
国际惯例，引入 NumPy 使用别名 np ，所有函数清单，方便速查。另外在 Numpy 中一维数组表示向量，多维数组表示矩阵。
Linear algebra (numpy.linalg) | 线性代数模块 |
|---|---|
Matrix and vector products | 矩阵相乘 |
dot(a, b[, out]) | 向量或者矩阵乘积 |
linalg.multi_dot(arrays) | 多个矩阵的乘积 |
vdot(a, b) | 仅适用于向量内积 |
inner(a, b) | 内积（ 对于两个二维数组的inner，相当于按X和Y的最后顺序的轴方向上取向量 ，然后依次计算内积后组成的多维数组） |
outer(a, b[, out]) | 向量外积 |
matmul(x1, x2, /[, out, casting, order, …]) | 矩阵乘积 |
linalg.matrix_power(a, n) | 矩阵乘幂 |
Decompositions | 矩阵分解 |
linalg.qr(a[, mode]) | 矩阵的QR分解 |
linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv]) | SVD分解 |
Matrix eigenvalues | 特征值和特征向量 |
linalg.eig(a) | 特征值和特征向量（方阵） |
linalg.eigvals(a) | 特征值（方阵） |
Norms and other numbers | 范数等 |
linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims]) | 向量或者矩阵的范数 |
linalg.det(a) | 行列式的值 |
linalg.matrix_rank(M[, tol, hermitian]) | 使用SVD分解得到矩阵的秩 |
trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out]) | 迹 |
Solving equations and inverting matrices | 解线性方程组和逆 |
linalg.solve(a, b) | 解线性方程组的准确解（要求满秩） |
linalg.tensorsolve(a, b[, axes]) | 解Ax=b |
linalg.lstsq(a, b[, rcond]) | 最小二乘 |
linalg.inv(a) | 矩阵的逆 |
linalg.pinv(a[, rcond]) | 伪逆 |
Matrix library (numpy.matlib) | 矩阵模块 |
mat(data[, dtype]) | 矩阵类型 |
matrix(data[, dtype, copy]) | 矩阵类型 |
asmatrix(data[, dtype]) | 将输入转化为矩阵类型 |
bmat(obj[, ldict, gdict]) | 块矩阵构造 |
empty(shape[, dtype, order]) | 只记录形状的空矩阵 |
zeros(shape[, dtype, order]) | 全0矩阵 |
ones(shape[, dtype, order]) | 全1矩阵 |
matlib.eye(n[, M, k, dtype, order]) | 产生对角线元素为1，其余元素为0的矩阵。 n 行数 M列数 k 对角元相对主对角线的位置 （可以产生长矩阵） |
identity(n[, dtype]) | 单位阵 |
matlib.repmat(a, m, n) | 向量或矩阵（最高只支持到2维）列方向重复m次，行方向重复n次 |
matlib.rand(*args) | 填充随机数的矩阵 |
matlib.randn(*args) | 填充数符合标准正态分布的矩阵 |
3.案例讲解
3.1 numpy.linalg 模块
- 模块引入以及取别名
1import numpy as np
2import numpy.linalg as linalg- 向量或矩阵乘积
- 多矩阵的乘积
相对于矩阵之间两两乘积，多矩阵的时候使用 multi_dot() 更加便捷
- 向量内积
只适用于向量，如果为矩阵则结果不为矩阵的内积
- 内积
# 对于两个二维数组的inner，相当于按X和Y的最后顺序的轴方向上取向量
# 然后依次计算内积后组成的多维数组
- 矩阵乘幂
这里使用第二十四讲的马尔科夫矩阵
（这里基本上已经可以确定稳态了）
- QR分解
这里使用第十七讲习题课的矩阵，可以发现和我们之前计算的 QR 结果是一致的，只不过有符号的差别。
- SVD分解
这里使用第三十讲奇异值分解习题课的例子
- 方阵的特征值和特征向量
这里使用第二十一讲习题课的例子
（可以发现结果都对特征向量进行了标准化）
- 特征值
该方法只返回特征值
- 范数
默认是二阶范数
- 行列式的值
可以单独求解单个矩阵的行列式的值，也可以多个矩阵同时求解行列式的值
- 矩阵的秩
同样支持多个矩阵同时求解矩阵的秩
- 矩阵的迹
- 解线性方程组
使用第二讲矩阵消元习题的例子，该方法要求满秩，即系数矩阵为方阵且各列线性无关。
- 矩阵形式求解线性方程组 （Ax=b）
使用第二讲矩阵消元习题的例子，该方法同样要求满秩，即系数矩阵为方阵且各列线性无关。
- 最小二乘
使用第十六讲习题课的例子，返回值中含有多个值，系数矩阵在返回值的第一个数组中
- 逆
- 伪逆
使用第三十四讲习题课的例子，这里要求输入为方阵，因此使用该例子，我们将原矩阵补全为方阵
3.2 numpy.matlib 模块
- 矩阵类型
- 将其他类型转化为矩阵类型
- 块矩阵构造
- 空矩阵
默认会填充随机值（应该是占位用的）
- 全 0 矩阵
- 全 1 矩阵
- 对角线为 1 矩阵
这里可以不止是在主对角线上，可由参数k控制，该参数定义全为 1 的对角线离主对角线的相对距离，为正则往上三角移动，为负则往下三角移动。 并且可以是非方阵。三个参数分别对应行数，列数和相对位置
- 单位阵
- 随机数矩阵
- 随机数符合标准正态分布的矩阵
