线性代数--MIT18.06(四)

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4. A=LU

4.1 课程内容：A的LU分解

在求解线性方程组的时候我们使用消元方法，得到了消元过程的矩阵表现形式 EA = U ,这种方法对于系数矩阵 A 比较小的时候比较适用，然而当 A 的阶数比较大的时候，我们就需要求解大量的消元得到的中间矩阵

，因此我们从另一个视角来表现 Gauss消元。

前置假设：消元过程不涉及换行

考虑3×3的情况，由Gauss消元我们得到

对上述等式做变换，即可得到

其中 L 表示下三角矩阵

那么为什么要从这个角度去理解消元过程呢？

以下列矩阵消元过程为例

注意到矩阵 E 的 (3,1) 位置出现了 10，为什么会产生 10 呢？，这是因为我们首先将 A 的第一行的 −2 倍加到第二行，又将第二行的 −5 倍加到了第三行，这就相当于将第一行的 −2×−5=10 倍加到了第三行，因此导致 E 的 (3,1) 位置出现了 10，然而我们并不希望 10 出现，因为它不利于我们快速确定变换所用的矩阵。

而当我们写成 A=LU 的形式时，显然 L 是对角元全为 1 的下三角矩阵，且L 下三角部分各位置的元素可通过消元过程快速确定，L 的(2,1),(3,2) 位置的元素即为消元的所用乘数 −2,−5 的相反数（差了一个负号是求逆的缘故）。

因此，我们只需记录消元所用的乘数，就能快速地确定矩阵 L，不需要进行任何计算（无需计算中间消元矩阵以及 A 消元过程中的中间矩阵），这就是我们使用形式 A=LU 的好处。

4.2 A=LU 习题课

2011年秋季习题

问：a,b满足什么条件时，下列系数矩阵 A 存在 LU分解。

实际上利用课程内容的结果，我们可以直接得到 L ,第二行减去第一行的 a 倍得到（2,2）位置的主元为 a ，因此，L 的(2,1) 位置为 a ,第三行减去第一行的 b 倍得到（3,2）位置为 b ，因此，L 的(3,1) 位置为 b , 为了消去 （3,2），需要第三行减去第二行的 b/a 倍，因此 L 的(3,2) 位置为 b/a , 即得到 L

由过程可知只需要

即可满足条件

当然我们也可以使用Gauss消元过程来对结果进行检验

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