线性代数--MIT18.06(二)

2.矩阵消元

2.1 课程内容：矩阵消元、回代、矩阵乘法

上一讲我们对于线性方程组可以使用矩阵 Ax=b来表示，这一讲求解该等式，对于矩阵，使用矩阵消元法。

以下列方程组为例，我们先使用矩阵消元法，然后回代方程即可求得所要的解：

对于系数矩阵A和解向量 b, 构建增广矩阵

其中，方框中的 1，2，5 称为主元(pivot)，注意，主元不能为 0 。 下面通过回代求得线性方程组的解。

首先由增广矩阵的第三行可知，z=−2z=−2，将 z=−2 代入第二行可得 y=1，再将 z=−2,y=1 代入第一行可得 x=2

那么如何用矩阵来表示上述消元过程呢？

由上一讲的内容可知，对于 AB 可以从行和列的角度去理解该乘法，消元法相当于是行变换，因此我们在系数矩阵 A 左乘相应的变换矩阵，即可表示出对于 A 的消元过程。

首先我们将系数矩阵 A 消元之后得到的上三角矩阵称为 U（upper triangular），即

那么消元过程就可以表示为

消元矩阵

左乘A表示

的每一行即为 A 的每一行的线性组合的系数，由消元过程可知第一步消元是 A 的第一行的−3 倍加到第二行，而第一行和第三行不变，因此

的第一行和第三行分别为 (1,0,0) 和 (0,0,1) ，第二行即为(-3,1,0)，即

消元矩阵

左乘

表示

的每一行即为 A 的每一行的线性组合的系数，由消元过程可知第二步消元是

第二行的−2 倍加到第三行，而第一行和第二行不变，因此

的第一行和第二行分别为 (1,0,0) 和 (0,1,0) ，第三行即为(0,-2,1)，即

而由矩阵乘法我们知道我们可以将这两步合并成一步，即可得

这就是矩阵消元的乘法表示。

2.2 矩阵消元习题课

这是1999年秋季的测验题，利用矩阵消元法求解下列线性方程组：

首先得到增广矩阵（A,b）

为了得到第一行的主元，第二行需要加上第一行的 -2 倍，第四行减去第一行的 3 倍，即得到

此时第二行主元也已经OK，对第三行进行消元，即第三行加第二行的 0.5 倍即可，即得到

由于此时第三行主元为0，因此交换第三行和第四行，即得到

可表示为线性方程组如下，此方程组的解与原方程组一致

由下往上求解即可得