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■ 置换矩阵
继续上一讲的内容,由上一讲可知我们可以将系数矩阵 A 分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积,但是我们给定了一个前提假设—— A 在消元过程中不做换行,这一次我们来解决如果在消元过程中存在换行的情况。
由矩阵乘法的定义我们知道,实际上对 A 换行,也可以由 A 左乘一个矩阵来完成,我们称 A 左乘的矩阵为置换矩阵(P, Permutation matrix)
由此我们得到
实际上单位阵就是一个置换矩阵,只不过它不对行进行更换,对于原分解过程我们可以这样理解
由此我们得到置换矩阵集合: 对单位矩阵 I 各行进行(或列)重排之后的矩阵集合。 这样对于给定的矩阵 A , 我们也能很快地知道所有的置换矩阵的个数,即为各行的全排列数,即n的阶乘( n! )
另外由其定义我们还可以得知置换矩阵的一个 特性
■ 转置矩阵
直观来看,将矩阵 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转,即得到 A 的转置。即
■ 对称矩阵
特别的我们发现一些矩阵转置之后还是原矩阵,这样的矩阵称为对称矩阵(Symmetric matrix , S), 即
同时我们发现可以通过任意矩阵,其自身与其转置的乘积得到对称阵,即
■ 向量空间的定义:
所有 n 维向量构成的空间即为向量空间
■ 子空间的定义:
子空间是向量空间
中满足如下条件的部分空间:
对于
的子空间
,任意
, 它们的所有线性组合也在
中。简单来说就是子空间对其内的向量是对乘法和加法封闭的。
举例来说
的所有子空间:
自身
的直线
的所有子空间:
自身
的直线
的平面
2011年秋季习题
问题一
构成的最小子空间
构成的最小子空间
问题二
由
构成,
是否成立?
的子空间 S ,满足
问题三
是什么?
解答
,为了满足
, 实际上只需要取任意过原点的直线(
向量的任意线性组合,但是不与
所在的这两条直线重合即可,即只要不取(0,1)或者(1,0)即可)
所在的直线, 也即
. 因为
恰好就在xy平面上。
由该习题我们也可以得出结论