每日一问之鞍点（saddle point）

今天开始在 GitHub 上刷每日一题，但是很快就被一道题卡住了。题目如下所示：

结合自己的情况并针对这道问题，整理出了以下概念：

• 什么是鞍点？
• 什么是 Hessian 矩阵？
• 如何证明一个点为鞍点？
• 局部最小值和鞍点的区别？

什么是鞍点

在维基中的定义如下：

In mathematics, a saddle point or minimax point is a point on the surface of the graph of a function where the slopes (derivatives) in orthogonal directions are all zero (a critical point), but which is not a local extremum of the function.

在数学中，鞍点或极小值点是函数图形表面上的一个点，其正交方向上的斜率(导数)均为零(临界点)，但不是函数的局部极值。一句话概括就是：

一个不是局部极值点的驻点称为鞍点。

*驻点：函数在一点处的一阶导数为零。

如下图所示，是函数 z = x2 - y2 图像，其鞍点在 (0, 0) 位置。函数 z 的整个曲面看上去就像是一个马鞍，其在 x 轴方向向上曲，在 y 轴方向向下曲。所以这也是鞍点这个名字的由来。

附上一张吴恩达大大的画作，哈哈。

什么是 Hessian 矩阵

在维基中的定义如下：

In mathematics, the Hessian matrix or Hessian is a square matrix of second-order partial derivatives of a scalar-valued function, or scalar field. It describes the local curvature of a function of many variables.

在数学中，Hessian 矩阵是标量值函数或标量场函数的二阶偏导数的方块矩阵。它描述了许多变量函数的局部曲率，可以用于判定多元函数的极值。假设有一实数函数 f: Rn→ R ，是关于输入 x (x ∈ Rn) 及输出 f(x) ∈ R 之间的关系式。如果其所有的二阶偏导数都存在，并且在该函数的领域上连续，那么 Hessian 矩阵 H 是一个 n×n 的矩阵，通常如下定义：

如何证明一个点为鞍点

Hessian 矩阵是一个凸函数，并且是正半定的。通过这一属性，我们可以测试临界点 x 是局部最大值，或者是局部最小值还是鞍点。如下所示：

• 如果 H 在 x 处为正定矩阵时，则函数 f 在 x 处有一个局部极小值；
• 如果 H 在 x 处为负定矩阵时，则函数 f 在 x 处有一个局部极大值；
• 如果 H 在 x 处为不定矩阵时（即同时有正特征值和负特征值），则函数 f 在 x 处为鞍点。

所以，一个简单标准的方法验证一个静止点是否为一个实数函数的鞍点，就是计算该函数的在该点上的 Hessian 矩阵。如果该 Hessian 矩阵为不定的，则该点为该函数的鞍点。

局部极小值和鞍点

局部极小值和鞍点的相同点是，在该点处的梯度（导数）都为零。从上面可以看出，局部极小值和鞍点的区别就在于，在该点处的 Hessian 矩阵的特性。如果 Hessian 矩阵在该点处是正定的，则为局部极小值；如果为不定的，则为鞍点。

鞍点通常是神经网络训练的困难之处。如下图所示，是一个包含两个参数的神经网络，是一个低维度的图，可以发现其存在很多的局部极小值，训练神经网络的时候，通常会陷入这些极小值中。事实上，建立的神经网络包含大量的参数，造成局部最优的困惑不是这些极小值点，而是零梯度点，通常为鞍点。

为什么说鞍点是训练神经网络的困难之处呢？因为鞍点的存在，会有一个平稳段，在该平稳段，函数的导数会长时间接近于 0，这使得神经网络的训练变得缓慢。

最后，总结到这里，大家也都知道开篇这道题目的答案了吧。

参考

[1]. Saddle point - Wikipedia

[2]. Hessian matrix - Wikipedia

[3]. 鞍点 - CSDN博客

[4]. 吴恩达 - 深度学习课程

P.S：文中有错欢迎指出，互相学习。以及欢迎关注我的公众号 :)