小波变换 Wavelet Transform

小波变换（Wavelet Transform，WT）是一种新的变换分析方法，其继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了后者窗口大小不随频率变化的缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

WT通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，自动适应时频信号分析的要求，从而聚焦到信号的任意细节，解决傅立叶变换的不足。

傅立叶变换 Fourier Transform

傅立叶变换是一种全局性的变换，其目的是找到一组基函数，通过基函数（图1下）的组合可以用来描述原信号，从而发现原信号中的主要的特征（图2右上）。基函数是全局的三角函数，因而只适合处理随时间变化的平稳信号，但是对于图2中和下的非平稳信号无能为力。

图1

图2

短时傅立叶变换 Short Time Fourier Transform

短时傅立叶变换的基本思想是将原信号通过窗口划分为几个子部分，每个子部分可以近似为平稳的信号（图3），然后再傅立叶变换。但是窗口大小的选取存在图4和图5所示的矛盾。

图3

图4

图5

小波变换 Wavelet Transform

与前两者不同的是，小波变换直接把傅立叶变换的基函数由无限长的三角函数换为了有限长的会衰减的小波基函数（图6），这样不仅能够获取频率，而且还可以定位到时间。

图6

上述内容只是简单介绍了三者的基本概念和联系，具体的细节可参考资料1.

应用：

参考资料2

参考：

1. https://www.cnblogs.com/bnuvincent/p/6701498.html

2. https://baike.baidu.com/item/%E5%B0%8F%E6%B3%A2%E5%8F%98%E6%8D%A2/10334289