八个意想不到的数学事实

总有一些东西听上去违背常理，可却是事实。数学就可以带给你这样的惊喜，今天我们就来为大家列举几个用数学就能解决的既简单又让人意外的小问题。

 1. 蒙提·霍尔问题 

蒙提·霍尔问题被常称为三门问题，出自美国的电视节目游戏Let’s Make a Deal，游戏环节里设计了三扇门，其中一扇门后是一辆汽车，另外两扇门后是是山羊。 参赛者先选定其中一扇门，紧接着主持人会打开没被选中的另两扇门中的一扇，露出一只羊。

这时主持人会问参赛者：“你想不想要换成剩下那扇关着的门？还是继续坚持你的选择？”

如果你是参赛者，会怎么做？

你是否会想：“要不坚持最初的选择？已经排除了一个错误答案了嘛，那这两个门里一定有一个是对的，赢车的几率50-50咯。”

可是，从概率学来说，选中的几率并非50-50，而且最好的策略是换一扇门。换门后还会输的可能只存在于你最初的选择就正确的情况，而最初就能选正确的概率是1/3，也就是说换门后输掉的概率也是1/3。这意味着换门后选对的概率为2/3，赢得汽车的可能性瞬间翻倍。

还没被说服？那我们用一张表来罗列所有可能出现的情况，假如一开始你选择1号门：

除了1号门里是车时你无法赢得汽车，其它情况都能赢。因此，如果你坚持最初的选择，选对的几率只能是最初的那1/3；而中途换门，赢的几率则能翻倍。

如果还是自信最初选的就是对的？行，那我们改改游戏规则：如果把门的数量增加到50，你先选择了一扇门，然后打开48扇背后有山羊的门。

你还会自信最初选的就是对的吗？反正这种情况小编是妥妥的换了。

2. 循环小数0.9999....等于1

你知道循环小数0.999...恒等于1吗？也许因为对“无穷大”这个概念理解有误差，导致许多人不懂为何0.999...等于1。在大多数人的大脑中，还是会觉得0.999...会以小数点后n位的一个9而终结。

如何证明呢？举个例子：

我们可以换一个方式来写这个数字，这个恒等关系就更加一目了然了。

当然，还有更多其它的证明方法。

其实这个问题来自第二次数学危机，即“无穷小是否是一个数”，正确的解释是，无限循环的数如0.9999...并不是一个数，而是一个数列，即[0.9,0.99,0.999,...],这个数列的极限收敛于1，所以0.999...=1

3. 偶数的数量和自然数一样多

自然数是全体非负整数的集合，像0, 1, 2, 3, 4等，有无穷多个。同样的，偶数也有无穷多个。很多人认为自然数的数量比偶数多，因为自然数里包含了偶数和奇数。可惜——并不对。

我们可以这样想，每一个自然数都对应一个它两倍大的数，而每一个偶数都有都有一个大小为它一半的自然数：

也就是说，对于每一个自然数都有一个偶数与之一一对应，因此这两个无穷大的数列集合大小一致，被称为可数无穷集。与它相区别的是不可数无穷集，像实数和虚数。可数无穷集还有一些其他例子，比如有理数和奇数。

4. 本福德定律

早在阿基米德时代，人们就发现自然界中出现最多的数字是1，因为独一无二的事物太多了，其次多的是2，成对出现的东西也无穷无尽，紧接着是3,4，5.。。

在现实世界里，以1为首位数字的数出现的几率占总数的30%。这个现象最早在1938年被物理学家弗兰克·本福德发现：以其他数字首位的数出现的几率呈对数分布。

这种规律在自然界中广泛存在，因此这种分布规律也被用来判断是否存在数据造假的情况，比如选票舞弊现象、假的经济数据、还有假的账簿等等。除此以外，许多数列也遵循这种规律，像斐波那契序列（1，1，2，3，5，8，13，21，34...）、阶乘、2的n次幂。

5. 生日悖论 

假如你所在的办公室共有23个员工，那么其中两个人生日在同一天的概率是多少？答案是50%！是不是远远高过你的猜想？进行这项计算时，我们先不考虑闰年的2月29日这个特别日子。首先可以确定的是，如果员工的数目是366人时，则一定有两个人同一天生日，因为一年只有365天嘛。而实际上可以更低，低到只需57，就有99%的几率出现两个生日相同的人！

这是如何算出来的呢？我们先回到23人的情况，直接计算至少两人生日相同的概率会相对复杂，而计算逆概率会简单很多，也就是考虑没有任何人生日相同的情况。

两个人生日不同的概率是：

三个人都不同则是：

四个人都不同为：

…….

以此类推，23人生日都不相同的概率为

这意味着所有人的生日都不相同的几率有49.3%，而至少两个人生日在同一天的几率为50.7%。

6. 贝特朗箱子悖论 

假如我有三只箱子，每只有两个隔间。我在1号箱子里放置了两个金条，2号箱子放了两个银条，3号箱子放有一金条一银条。现在你打开任意一只箱子其中的一个隔间，假如看到的是一个金条，那么这只箱子中另外一个隔间里同样是金条的概率是多少？

你是不是想：不就是1/2吗？因为只有两个箱子里有金条呀，所以一定选中了其中之一的吧！不对吗？

嗯，不对！实际情况比那要复杂一丢丢。为了解释清楚为什么几率不是1/2，我们来看下面这几个图：

我们先将三只箱子里的金条和银条编上号，再来列举一下所有可能出现的第一次选中情况：

如果我们只看第一次选到金条的情况：

很显然，如果第一次打开了一个金条，则剩下的隔间打开也为金条的几率是2/3。

7. 调和级数1+1/2+1/3+......

发散到无穷大

由调和数列1、1/2、1/3、1/4...相加而得结果趋近与无穷大！（高中数学知识点啊盆友萌！）意不意外？！惊不惊喜？！这个数级中分母明明越来越大，每一项分数越来越接近0，难道不该是收敛级数，比如类似这样的：

可事实却是这样的：

实在是令人费解呀！

如何证明为什么这个看似应该在某处收敛的数级会发散到无穷呢？

我们将调和数级与一个明显比它小的数级相比较

可以看到在这两个不同的数级中，相同位置的项在上图显示的数级中明显比在调和数级中小，而这个较小数级也可以写作：

也就是

发散到无穷。而这个数级显然小于调和数级，因此调和数级

同样发散到无穷。

8. 三囚犯问题

三个囚犯被单独关在三个房间，典狱长随即选择其中之一执行死刑。监狱里的守卫知道被选中的是谁，但不能说出来。狡猾的囚犯A对守卫说：“如果将被处决的是B，请你告诉我C的名字；如果即将被处决的是C，则告诉我B的名字。如果是我被处决，请抛个硬币决定究竟告诉我B或是C的名字。”

护卫告诉囚犯A，B是那个即将被处决的人。A听完后很害怕，他不知道被处决的到底是C还是他自己，他觉得自己是那个倒霉蛋的几率变大了，从之前的A、B、C中间三选一(1/3)、变成了A、C中间二选一(1/2)。A把这个消息告诉了C，C也害怕起来，他认为自己被处决的概率从1/3变成了2/3。

A和C究竟谁想得对呢？

首先ABC三人分别有1/3被处决的几率，守卫说出B的名字时所包含的意思可能是以下两点：

1. C会被惩罚(1/3概率)
2. A会被惩罚，投硬币掷到B（1/6概率)

这意味着A被处决的概率是C的一半。而此时B被处决的可能性已被排除。因此A被处决的可能性则为1/3，而C的概率是A的两倍2/3。在这道残忍的概率题里，C确实应该更觉得害怕！