【温故知新】概率笔记3——几何概型

引例

　　天上掉钱了！都是红色的毛爷爷！同学们拿着盆跑到操场上接钱，当然谁的盆大谁接到钱的可能性就越大。

　　钱落下的位置是操场上的随机位置（每个位置等可能），接到钱的概率只与盆的大小相关（与几何度量相关），与盆的形状无关，每个同学接到钱的概率是 Area(盆)/Area(操场)。这是一个几何概型。

定义与公式

　　几何概型是一种概率模型，在这个模型下，E的样本空间是一个可度量的几何区域（操场），且每个样本点的发生具有等可能性（每个位置接到钱的几率相当）。这里的等可能性与上一章中提到的一样，客观上当你无法确定哪个事件更易发生的时候，只好认为是等可能。

　　古典概型与几何概型的主要区别在于试验的结果是无限个。骰子只有6个面，所以骰子的点数是有限个；骰子的落点可以是房间地面的任意位置，所以落点有无限个。

　　关于几何概型的定义，还有一种教科书的说法，大概是：样本点落入样本空间Ω中的某一可度量区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置，形状无关。由此得到公式：

　　教科书的上的概念通常很严谨，但不易理解，置于是否能记住，随便吧，知道几何概型就是天上掉钱就好。

典型问题

　　很多问题可以转换为几何度量，例如一个人到单位的时间可能是8:00~9:00之间的任意一个时刻（将时间转换为一维线段）；往一个方格中投一个石子，石子落在方格中任何一点上（将方格转换为二维坐标）。

示例1

　　甲乙二人在上午9：00 ~ 10:00间分别从AB两地出发，两人时速相等，都能够在10分钟内走完全程，那么二人相遇的几率是多少？

　　这是典型的几何概率，9：00 ~ 10:00间有无限多个时间，二人出发的时间点具有等可能性。以分钟为单位，把A出发的时间转换为线段：

　　把B出发的时间也加进来，形成二维坐标：

　　正方形就是样本空间Ω，其中的每一个点都代表AB出发的时间，也就是一个样本点，样本点有无数个。

　　A和B都是10分钟内走完全程，假设A先出发，想要相遇，B出发的时间一定在A出发后的10分钟内，设出发时间为T，则TB – TA < 10。由于B可能在A之前出发，所以加绝对值|TB – TA| < 10。将其转换为几何度量，符合条件的点全部落在绿色区域内：

示例2

　　示例1还有另一个马甲，一对年轻人约定9：00 ~ 10:00在某地相亲见面，如果其中一方空等10分钟就会离开，他们成功见面的几率是多少？

　　对比示例1：

　　求解过程和结果完全一致。此类问题还有轮船相遇、汽车相遇等等。

示例3

　　AB亮盏路灯之间间隔30米，相关部门想在AB间新添两盏相同的路灯C和D，AC与BD间隔都不小于10米的概率？

　　AB间的任意位置都可以放置路灯，所以样本空间Ω的度量是30。

　　如上图所示，只有当CD同时落入10~20的区间内才能符合要求。C和D落入区间的概率都是1/3：

　　将两幅图拼接在一起，相当于AB间的所有点都累加一次，由此得出最终结果是1/3：

作者：我是8位的

出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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