【数据分析 R语言实战】学习笔记 第十章（下）因子分析
【数据分析 R语言实战】学习笔记 第十章（下）因子分析
10.2因子分析
与主成分分析一样，因子分析也是一种“降维”的统计方法。它们的出发点都是变量的相关系数矩阵，在损失较少信息的前提下，把多个变量综合成少数几个指标来研究总体各方面信息，并且这少数几个综合变量所代表的信息不能重叠，即变量间不相关。
通常，研究中得到的观察数据都是关于事物的外在特征或个别的具体特征，这些特征的观测值存在聚合趋势，有些变量之间存在高度的相关性，这种高度相关性往往来源于一个共同的制约因素，称为共同因子。如果能够在一批多维数据资料中找到m个因子来解释变量的大部分变异，就是所谓的因子分析。简单地说，就是根据相关性对变量分组，同组内的变量之问相关性较高，不同组间的相关性较低，最终用少数几个因子描述指标或因素之间的联系。
因子载荷矩阵的估计方法
提取因子的方法有多种，常用的足主成分分析、主因子分析、迭代主因子分析和极大似然分析等。
R语言实现
R中自带的因子分析函数factanal()采用极大似然估计方法估计因子载荷，适用于大样本量的数据分析，其调用格式为
factanal(x, factors, data = NULL, covmat =NULL, n.obs = NA,subset, na.action, start = NULL,scores = c("none", "regression","Bartlett"),rotation = "varimax", control = NULL, ...)
x是公式或用于因子分析的数据，可以是矩阵(每行为一个样本)或数据框:factors表示要生成的因子个数:data指定数据集，当x为公式形式时使用;covmat是样本的协方差矩阵或相关系数矩阵，使用这个参数时x可以忽略:scores表示计算因子得分的方法;rotation表示因子旋转方法，默认为“varimax“：方差最大旋转。实际上，应用主成分法估计因子载荷的方法也使用得十分广泛，但R中仅有极大似然估计的函数factanal()因此我们可以仿照factanal()的输出结果，自己写出主成分法的因子分析函数factor.analysis()。
> factor.analysis=function(x,m){+ p=nrow(x);x.diag=diag(x);sum.rank=sum(x.diag)+ rowname=paste("X",1:p,sep="") #设置行名、列名+ colname=paste("Factor",1:m,sep="")+ A=matrix(0,nrow=p,ncol=m,dimnames=list(rowname,colname)) #构造因子载荷矩阵A，初值设为0+ eig=eigen(x) #eig包含两个元素,values为特征根，vectors为特征向量+ for(i in 1:m)+ A[,i]=sqrt(eig$values[i])*eig$vectors[,i] #填充矩阵A的值+ var.A=diag(A%*%t(A)) #公共因子的方差+ rowname1=c("SS loadings","Proportion Var","Cumulative Var")+ result=matrix(0,nrow=3,ncol=m,dimnames=list(rowname1,colname)) #构造输出结果的矩阵，初值设为0+ for(i in 1:m){+ result[1,i]=sum(A[,i]^2) #计算各因子的方差+ result[2,i]=result[1,i]/sum.rank #计算方差贡献率+ result[3,i]=sum(result[1,1:i])/sum.rank #累计方差贡献率+ }+ method=c("Principal Component Method")+ #输出计算结果+ list(method=method,loadings=A,var=cbind(common=var.A,specific=x.diag-var.A),result=result)+ }例:
一家股份制商业银行为研究对象，选取I1个指标来研究它们的经营绩效，
> bank=read.table("d:/data/bank.txt",header=T)> bank=bank[,-1] #剔除第一列序号> R=cor(bank) #计算相关系数矩阵> options(digits=3) #结果显示3位有效数字> factor.analysis(R,5)$method[1] "Principal Component Method"$loadings Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5X1 0.394 0.2431 -0.2041 0.76100 0.3940X2 -0.209 -0.1280 0.8928 0.12540 -0.2654X3 0.804 0.1743 0.4772 0.20028 -0.0819X4 0.877 0.1978 0.2827 -0.23663 0.1982X5 0.594 0.2171 -0.0425 0.30028 -0.6327X6 0.309 0.8681 0.2126 0.00168 0.2912X7 0.911 -0.0434 -0.1026 -0.21235 -0.0258X8 0.200 -0.8106 0.0252 0.52455 0.0766X9 0.856 -0.4227 0.0227 -0.14650 0.0640X10 -0.764 0.5250 -0.0233 0.24916 -0.2040X11 0.644 0.2050 -0.5499 -0.00226 -0.3653$var common specificX1 0.990 0.00991X2 0.943 0.05685X3 0.951 0.04908X4 0.984 0.01646X5 0.892 0.10807X6 0.979 0.02104X7 0.888 0.11206X8 0.979 0.02116X9 0.937 0.06299X10 0.964 0.03564X11 0.893 0.10739$result Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5SS loadings 4.663 2.101 1.508 1.185 0.9424Proportion Var 0.424 0.191 0.137 0.108 0.0857Cumulative Var 0.424 0.615 0.752 0.860 0.9454根据loadings的输出结果，我们可以写出原始变量和5个因子之间的线性关系式
例2
某公司想要了解消费者购买牙膏时更追求什么样的}J标，于是通过商场拦访对30个人进行访谈，用7级里克特量表询问他们对以下陈述的认同程度(即1表示非常不同意，7表示非常同意)。
> yg=read.table("d:/data/yagao.txt",header=T)> data=yg[,-1]> factanal(data,factors=2)Call:factanal(x = data, factors = 2)Uniquenesses: V1 V2 V3 V4 V5 V6 0.104 0.440 0.141 0.384 0.238 0.294 Loadings: Factor1 Factor2V1 0.945 V2 0.747 V3 0.917 -0.135 V4 0.779 V5 -0.868 V6 0.838 Factor1 Factor2SS loadings 2.505 1.896Proportion Var 0.417 0.316Cumulative Var 0.417 0.733Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.The chi square statistic is 4.86 on 4 degrees of freedom.The p-value is 0.302 根据载荷系数矩阵，写出2个因子和原变量之间的线性关系式